Google
Câu hỏi: Trong Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+z-4=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{3}$. Đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là
A. $\dfrac{x+1}{5}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-1}{3}$
B. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{3}$
C. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$
D. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}$
A. $\dfrac{x+1}{5}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-1}{3}$
B. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{3}$
C. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$
D. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;2;1 \right)$. Đường thẳng d có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;3 \right)$.
Vì $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=7\ne 0$ nên đường thẳng d và mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt nhau.
Tọa độ giao điểm H của đường và mặt là nghiệm của hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& x+2y+z-4=0 \\
& \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1 \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 1;1;1 \right)$.
Vì đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d nên đường thẳng Δ đi qua điểm H và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 5;-1;-3 \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng Δ là $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}$.
Vì $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=7\ne 0$ nên đường thẳng d và mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt nhau.
Tọa độ giao điểm H của đường và mặt là nghiệm của hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& x+2y+z-4=0 \\
& \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1 \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 1;1;1 \right)$.
Vì đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d nên đường thẳng Δ đi qua điểm H và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 5;-1;-3 \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng Δ là $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}$.
Đáp án D.