Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxyz. Cho tam giác ABC đều với $A\left( 4;2;-6 \right)$ và phương trình đường thẳng $BC:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z-1}{1}$. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tính độ dài OH.
A. $OH=3.$
B. $OH=2\sqrt{3}.$
C. $OH=3\sqrt{2}.$
D. $OH=2\sqrt{2}.$
A. $OH=3.$
B. $OH=2\sqrt{3}.$
C. $OH=3\sqrt{2}.$
D. $OH=2\sqrt{2}.$
Gọi trung điểm của cạnh BC là $I\left( 3+2t;3+t;1+t \right)\in BC.$
Ta có $\overrightarrow{AI}=\left( -1+2t;1+t;7+t \right)$ và $\overrightarrow{v}=\left( 2;1;1 \right)$ là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng chứa cạnh BC.
Do ABC đều nên:
$AI\bot BC\Rightarrow \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow I\left( 1;2;0 \right).$
Và trực tâm H thỏa mãn:
$2\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{AH}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2.\left( -3 \right)=3\left( {{x}_{H}}-4 \right) \\
& 2.0=3\left( {{y}_{H}}-2 \right) \\
& 2.6=3\left( {{z}_{H}}+6 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}=2 \\
& {{y}_{H}}=2 \\
& {{z}_{H}}=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 2;2;-2 \right)$
Vậy $OH=3\sqrt{2}.$
Ta có $\overrightarrow{AI}=\left( -1+2t;1+t;7+t \right)$ và $\overrightarrow{v}=\left( 2;1;1 \right)$ là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng chứa cạnh BC.
Do ABC đều nên:
$AI\bot BC\Rightarrow \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow I\left( 1;2;0 \right).$
Và trực tâm H thỏa mãn:
$2\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{AH}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2.\left( -3 \right)=3\left( {{x}_{H}}-4 \right) \\
& 2.0=3\left( {{y}_{H}}-2 \right) \\
& 2.6=3\left( {{z}_{H}}+6 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}=2 \\
& {{y}_{H}}=2 \\
& {{z}_{H}}=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 2;2;-2 \right)$
Vậy $OH=3\sqrt{2}.$
Đáp án C.