Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng $Oxy$, gọi $(H)$ là tập hợp điểm $M(x;y)$ thỏa mãn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=k(|x|+|y|)$ với $k$ là số nguyên dương, $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bời $(H)$. Giá trị lớn nhất của $k$ để $S<250$ bằng
A. 5.
B. 4.
C. 7.
D. 6.
A. 5.
B. 4.
C. 7.
D. 6.
Do tính đối xứng qua $Ox,Oy$ của $\left( H \right)$ nên ta chỉ cần xét khi $x>0;y>0$. Khi đó
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=k\left( \left| x \right|+\left| y \right| \right)$ thành ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=k\left( x+y \right)\Leftrightarrow {{\left( x-\dfrac{k}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{k}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{k}^{2}}}{2}$ $\left( {{H}_{1}} \right)$.
Do $k$ là số nguyên dương nên $\left( {{H}_{1}} \right)$ là đường tròn tâm $I\left( \dfrac{k}{2};\dfrac{k}{2} \right)$, bán kính $R=\dfrac{k}{\sqrt{2}}$.
Diện tích của $\left( {{H}_{1}} \right)$ ứng với $x>0;y>0$ là ${{S}_{1}}=\pi \dfrac{{{k}^{2}}}{2}-2\int\limits_{0}^{k}{\left( \dfrac{k}{2}-\sqrt{\dfrac{{{k}^{2}}}{2}-{{\left( x-\dfrac{k}{2} \right)}^{2}}} \right)dx}$.
Do tính đối xứng của $\left( H \right)$ nên $S=4{{S}_{1}}$.
$S<250\Leftrightarrow {{S}_{1}}<\dfrac{125}{2}$ $\Leftrightarrow \pi \dfrac{{{k}^{2}}}{2}-2\int\limits_{0}^{k}{\left( \dfrac{k}{2}-\sqrt{\dfrac{{{k}^{2}}}{2}-{{\left( x-\dfrac{k}{2} \right)}^{2}}} \right)dx}<\dfrac{125}{2}$.
Dùng máy tính cầm tay, có thể thay trực tiếp các giá trị của $k$, thấy $k=6$ thỏa yêu cầu bài toán.
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=k\left( \left| x \right|+\left| y \right| \right)$ thành ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=k\left( x+y \right)\Leftrightarrow {{\left( x-\dfrac{k}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{k}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{k}^{2}}}{2}$ $\left( {{H}_{1}} \right)$.
Do $k$ là số nguyên dương nên $\left( {{H}_{1}} \right)$ là đường tròn tâm $I\left( \dfrac{k}{2};\dfrac{k}{2} \right)$, bán kính $R=\dfrac{k}{\sqrt{2}}$.
Do tính đối xứng của $\left( H \right)$ nên $S=4{{S}_{1}}$.
$S<250\Leftrightarrow {{S}_{1}}<\dfrac{125}{2}$ $\Leftrightarrow \pi \dfrac{{{k}^{2}}}{2}-2\int\limits_{0}^{k}{\left( \dfrac{k}{2}-\sqrt{\dfrac{{{k}^{2}}}{2}-{{\left( x-\dfrac{k}{2} \right)}^{2}}} \right)dx}<\dfrac{125}{2}$.
Dùng máy tính cầm tay, có thể thay trực tiếp các giá trị của $k$, thấy $k=6$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án D.