Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 và đường tròn $\left( C \right)$ có tâm A, đường kính 10. Thể tích V của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình quanh trục là đường AC bằng
A. $\dfrac{1000\pi +375\pi \sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{1000\pi +125\pi \sqrt{2}}{6}$.
C. $\dfrac{500\pi +125\pi \sqrt{2}}{6}$.
D. $\dfrac{500\pi +375\pi \sqrt{2}}{6}$.
Khối tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình quanh trục AC bao gồm:
- Khối cầu có bán kính $R=5\Rightarrow {{V}_{C}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{500}{3}\pi $.
- Khối nón có chiều cao $h=\dfrac{AC}{2}$ và bán kính đường tròn đáy là $\dfrac{BD}{2}$
${{V}_{N}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{3}}h=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{125\sqrt{2}}{12}\pi $.
Trừ đi phần giao của khối cầu và khối nón chính là chỏm cầu có chiều cao $h=AB-\dfrac{AC}{2}$
$\Rightarrow {{V}_{G}}=\pi {{h}^{2}}.\left( R-\dfrac{h}{3} \right)=\pi .{{\left( \dfrac{10-5\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}.\left( 5-\dfrac{10-5\sqrt{2}}{6} \right)=\pi {{\left( \dfrac{10-5\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{20+5\sqrt{2}}{6}$
Vậy thể tích khối nón xoay cần tìm là $V={{V}_{C}}+{{V}_{N}}-{{V}_{G}}=\dfrac{500\pi +375\pi \sqrt{2}}{6}$.
A. $\dfrac{1000\pi +375\pi \sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{1000\pi +125\pi \sqrt{2}}{6}$.
C. $\dfrac{500\pi +125\pi \sqrt{2}}{6}$.
D. $\dfrac{500\pi +375\pi \sqrt{2}}{6}$.
Khối tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình quanh trục AC bao gồm:
- Khối cầu có bán kính $R=5\Rightarrow {{V}_{C}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{500}{3}\pi $.
- Khối nón có chiều cao $h=\dfrac{AC}{2}$ và bán kính đường tròn đáy là $\dfrac{BD}{2}$
${{V}_{N}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{3}}h=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{125\sqrt{2}}{12}\pi $.
Trừ đi phần giao của khối cầu và khối nón chính là chỏm cầu có chiều cao $h=AB-\dfrac{AC}{2}$
$\Rightarrow {{V}_{G}}=\pi {{h}^{2}}.\left( R-\dfrac{h}{3} \right)=\pi .{{\left( \dfrac{10-5\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}.\left( 5-\dfrac{10-5\sqrt{2}}{6} \right)=\pi {{\left( \dfrac{10-5\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{20+5\sqrt{2}}{6}$
Vậy thể tích khối nón xoay cần tìm là $V={{V}_{C}}+{{V}_{N}}-{{V}_{G}}=\dfrac{500\pi +375\pi \sqrt{2}}{6}$.
Đáp án D.