Google
Câu hỏi: Trong không gian với Oxyz, cho các điểm $M\left( 2;1;4 \right), N\left( 5;0;0 \right), P\left( 1;-3;1 \right)$. Gọi $I\left( a,b,c \right)$ là tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) đồng thời đi qua các điểm M, N, P. Tìm c biết rằng $a+b+c<5$
A. 3.
B. 2.
C. 4.
D. 1.
A. 3.
B. 2.
C. 4.
D. 1.
Ta thấy rằng: $MN=MN=MQ=\sqrt{26}$ suy ra tam giác MNP đều.
Khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng với trọng tâm $G\left( \dfrac{8}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3} \right).$
Suy ra điểm $I\in \Delta $ là đường thẳng qua G và vuông góc với mặt phẳng (MNP).
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}=\left( 3;-1;-4 \right) \\
& \overrightarrow{MP}=\left( -1;-4;-3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP} \right]=\left( -13;13;-13 \right)=-13\left( 1;-1;1 \right)$
Suy ra $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{8}{3}+t \\
& y=-\dfrac{2}{3}-t \\
& z=\dfrac{5}{3}+t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( \dfrac{8}{3}+t;-\dfrac{2}{3}-t;\dfrac{5}{3}+t \right)$
Lại có: (S) tiếp xúc với mặt phẳng $\left( \text{O}yz \right)\Rightarrow d\left( I;\left( Oyz \right) \right)=R=IN$
$\Leftrightarrow \left| t+\dfrac{8}{3} \right|=\sqrt{{{\left( t-\dfrac{7}{3} \right)}^{2}}+{{\left( t+\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( t+\dfrac{5}{3} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{t}^{2}}+\dfrac{16}{3}t+\dfrac{64}{9}=3{{t}^{2}}+\dfrac{26}{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{7}{3} \\
& t=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $\left[ \begin{aligned}
& I\left( 5;-3;4 \right) \\
& I\left( 3;-1;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{a+b+c={{x}_{1}}+{{y}_{1}}+{{z}_{1}}<5}I\left( 3;-1;2 \right)\Rightarrow c=2$
Khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng với trọng tâm $G\left( \dfrac{8}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3} \right).$
Suy ra điểm $I\in \Delta $ là đường thẳng qua G và vuông góc với mặt phẳng (MNP).
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}=\left( 3;-1;-4 \right) \\
& \overrightarrow{MP}=\left( -1;-4;-3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP} \right]=\left( -13;13;-13 \right)=-13\left( 1;-1;1 \right)$
Suy ra $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{8}{3}+t \\
& y=-\dfrac{2}{3}-t \\
& z=\dfrac{5}{3}+t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( \dfrac{8}{3}+t;-\dfrac{2}{3}-t;\dfrac{5}{3}+t \right)$
Lại có: (S) tiếp xúc với mặt phẳng $\left( \text{O}yz \right)\Rightarrow d\left( I;\left( Oyz \right) \right)=R=IN$
$\Leftrightarrow \left| t+\dfrac{8}{3} \right|=\sqrt{{{\left( t-\dfrac{7}{3} \right)}^{2}}+{{\left( t+\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( t+\dfrac{5}{3} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{t}^{2}}+\dfrac{16}{3}t+\dfrac{64}{9}=3{{t}^{2}}+\dfrac{26}{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{7}{3} \\
& t=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $\left[ \begin{aligned}
& I\left( 5;-3;4 \right) \\
& I\left( 3;-1;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{a+b+c={{x}_{1}}+{{y}_{1}}+{{z}_{1}}<5}I\left( 3;-1;2 \right)\Rightarrow c=2$
Đáp án B.