Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $d:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và ${d}':\left\{ \begin{aligned}
& x=3+{t}' \\
& y=2+{t}' \\
& z=5 \\
\end{aligned} \right.,{t}'\in \mathbb{R} $. Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và $ {d}'$.
A. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$
B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-1}{-2}$
C. $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-3}{2}$
D. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$
& x=3+{t}' \\
& y=2+{t}' \\
& z=5 \\
\end{aligned} \right.,{t}'\in \mathbb{R} $. Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và $ {d}'$.
A. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$
B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-1}{-2}$
C. $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-3}{2}$
D. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$
Hai đường thẳng d và ${d}'$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(1;-1;-1)$ và $\overrightarrow{{{u}'}}=(1;1;0)$.
Lấy $A(2+t;1-t;2-t)\in d$ và $B(3+{t}';2+{t}';5)\in {d}'$ $\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(1+{t}'-t;{t}'+t+1;t+3)$.
$AB$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và ${d}'$ khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{u} \\
& \overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{{{u}'}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& (1+{t}'-t)-({t}'+t+1)-(t+3)=0 \\
& (1+{t}'-t)+({t}'+t+1)+0.(t+3)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3t-3=0 \\
& 2{t}'+2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& {t}'=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $\overrightarrow{AB}=(1;-1;2)$ và $A(1;2;3)\Rightarrow AB:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$.
Lấy $A(2+t;1-t;2-t)\in d$ và $B(3+{t}';2+{t}';5)\in {d}'$ $\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(1+{t}'-t;{t}'+t+1;t+3)$.
$AB$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và ${d}'$ khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{u} \\
& \overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{{{u}'}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& (1+{t}'-t)-({t}'+t+1)-(t+3)=0 \\
& (1+{t}'-t)+({t}'+t+1)+0.(t+3)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3t-3=0 \\
& 2{t}'+2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& {t}'=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $\overrightarrow{AB}=(1;-1;2)$ và $A(1;2;3)\Rightarrow AB:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$.
Đáp án D.