Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$. Cho tứ diện $ABCD$ có điểm $A(1;-2;3)$, $B(5;0;-1)$, $C(-1;2;0)$, $D(0;3;4)$. Trên các cạnh $AB$, $AC$, $AD$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $P$ thỏa $\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}+\dfrac{AD}{AP}=9$ và có thể tích $AMNP$ nhỏ nhất. Khi đó mặt phẳng $(MNP)$ đi qua điểm nào sau đây?
A. $\left( \dfrac{7}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{5}{3} \right)$.
B. $\left( \dfrac{-27}{3};\dfrac{41}{3};\dfrac{5}{3} \right)$.
C. $\left( \dfrac{5}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{74}{3} \right)$.
D. $\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{91}{8} \right)$.
A. $\left( \dfrac{7}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{5}{3} \right)$.
B. $\left( \dfrac{-27}{3};\dfrac{41}{3};\dfrac{5}{3} \right)$.
C. $\left( \dfrac{5}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{74}{3} \right)$.
D. $\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{91}{8} \right)$.
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
$9=\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}+\dfrac{AD}{AP}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{AB}{AM}.\dfrac{AC}{AN}.\dfrac{AD}{AP}}$.
$\Rightarrow \dfrac{AM.AN.AP}{AB.AC.AD}\ge \dfrac{1}{27}$ $\Rightarrow \dfrac{{{V}_{AMNP}}}{{{V}_{ABCD}}}\ge \dfrac{1}{27}\Rightarrow {{V}_{AMNP}}\ge \dfrac{1}{27}{{V}_{ABCD}}$
${{V}_{AMNP}}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AD}{AP}=3$. Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& \left( MNP \right)\text{//}\left( BCD \right) \\
& \overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AM} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 4;2;-4 \right)$ ; $\overrightarrow{BC}=\left( -6;2;1 \right)$ ; $\overrightarrow{BD}=\left( -5;3;5 \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{BCD}}}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left( 7;25;-8 \right)$.
Vì $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AM}$ nên $M\left( \dfrac{7}{3};\dfrac{-4}{3};\dfrac{5}{3} \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( MNP \right)$ : $7.\left( x-\dfrac{7}{3} \right)+25\left( y+\dfrac{4}{3} \right)-8\left( z-\dfrac{5}{3} \right)=0$
$\left( MNP \right)$ : $7x+25y-8z+\dfrac{91}{3}=0$.
Ta thấy rằng $\left( MNP \right)$ đi qua điểm $\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{91}{8} \right)$.
$9=\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}+\dfrac{AD}{AP}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{AB}{AM}.\dfrac{AC}{AN}.\dfrac{AD}{AP}}$.
$\Rightarrow \dfrac{AM.AN.AP}{AB.AC.AD}\ge \dfrac{1}{27}$ $\Rightarrow \dfrac{{{V}_{AMNP}}}{{{V}_{ABCD}}}\ge \dfrac{1}{27}\Rightarrow {{V}_{AMNP}}\ge \dfrac{1}{27}{{V}_{ABCD}}$
${{V}_{AMNP}}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AD}{AP}=3$. Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& \left( MNP \right)\text{//}\left( BCD \right) \\
& \overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AM} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 4;2;-4 \right)$ ; $\overrightarrow{BC}=\left( -6;2;1 \right)$ ; $\overrightarrow{BD}=\left( -5;3;5 \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{BCD}}}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left( 7;25;-8 \right)$.
Vì $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AM}$ nên $M\left( \dfrac{7}{3};\dfrac{-4}{3};\dfrac{5}{3} \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( MNP \right)$ : $7.\left( x-\dfrac{7}{3} \right)+25\left( y+\dfrac{4}{3} \right)-8\left( z-\dfrac{5}{3} \right)=0$
$\left( MNP \right)$ : $7x+25y-8z+\dfrac{91}{3}=0$.
Ta thấy rằng $\left( MNP \right)$ đi qua điểm $\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{91}{8} \right)$.
Đáp án D.