Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có ${A\left( 0;2;0 \right)}$, ${B\left( 2;0;0 \right)}$, ${C\left( 0;0;\sqrt{2} \right)}$ và ${D\left( 0;-2;0 \right)}$. Số đo góc của hai mặt phẳng ${\left( ABC \right)}$ và ${\left( ACD \right)}$ là :
A. ${{30}^{0}}$.
B. ${{45}^{0}}$.
C. ${{60}^{0}}$.
D. ${{90}^{0}}$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( ACD \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} \right]=\left( 4\sqrt{2};0;0 \right)$.
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( ACD \right)$.
Ta có $\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\dfrac{\left| \left( -2\sqrt{2} \right).4\sqrt{2} \right|}{\sqrt{{{\left( -2\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( -2\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}.\sqrt{{{\left( 4\sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}\to \varphi ={{60}^{0}}$.
A. ${{30}^{0}}$.
B. ${{45}^{0}}$.
C. ${{60}^{0}}$.
D. ${{90}^{0}}$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( -2\sqrt{2};-2\sqrt{2};-4 \right)$.Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( ACD \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} \right]=\left( 4\sqrt{2};0;0 \right)$.
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( ACD \right)$.
Ta có $\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\dfrac{\left| \left( -2\sqrt{2} \right).4\sqrt{2} \right|}{\sqrt{{{\left( -2\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( -2\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}.\sqrt{{{\left( 4\sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}\to \varphi ={{60}^{0}}$.
Đáp án C.