Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : x - 2 y + z - 5 = 0

và mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 z + 1 = 0

có tâm I. Từ một điểm

M (a; b; c)

thuộc mặt phẳng (P) kẻ một đường thẳng tiếp xúc với (S) tại N sao cho diện tích tam giác IMN bằng

\sqrt{2}

. Khi đó giá trị

T = a + 2 b + 3 c

bằng bao nhiêu?
A.

T = - 1

B.

T = - 5

C.

T = 3

D.

T = 2

Mặt cầu (S) có tâm

I (1; 0; - 2)

và bán kính R = 2.
Ta có:

S_{I M N} = \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} I N . M N = \sqrt{2} \overset{I N = R = 2}{\to} M N = \sqrt{2} \Rightarrow I M = \sqrt{M N^{2} + I N^{2}} = \sqrt{6}

.
Khi đó:

\sqrt{6} = I M \geq d (I, (P)) = \sqrt{6} \Rightarrow I M = d (I, (P))

.
Suy ra M là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Khi đó, IM nhận

\vec{n_{(P)}} = (1; - 2; 1)

làm vectơ chỉ phương nên IM có phương trình:

\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{y + 2}{1} \Rightarrow M (1 + t; - 2 t; - 2 + t)

.
Do

M \in (P) \Rightarrow t + t + 4 t - 2 + t - 5 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M (2; - 2; - 1)

Khi đó

a = 2; b = - 2; c = - 1 \Rightarrow T = a + 2 b + 3 c = - 5

.

Đáp án B.