Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P):x-2y+z-5=0$ và mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\text{x}+4\text{z}+1=0$ có tâm I. Từ một điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng (P) kẻ một đường thẳng tiếp xúc với (S) tại N sao cho diện tích tam giác IMN bằng $\sqrt{2}$. Khi đó giá trị $T=a+2b+3c$ bằng bao nhiêu?
A. $T=-1$
B. $T=-5$
C. $T=3$
D. $T=2$
A. $T=-1$
B. $T=-5$
C. $T=3$
D. $T=2$
Mặt cầu (S) có tâm $I(1;0;-2)$ và bán kính R = 2.
Ta có: ${{S}_{IMN}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}IN.MN=\sqrt{2}\xrightarrow{IN=R=2}MN=\sqrt{2}\Rightarrow IM=\sqrt{M{{N}^{2}}+I{{N}^{2}}}=\sqrt{6}$.
Khi đó: $\sqrt{6}=IM\ge d\left( I,(P) \right)=\sqrt{6}\Rightarrow IM=d\left( I,(P) \right)$.
Suy ra M là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Khi đó, IM nhận $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(1;-2;1)$ làm vectơ chỉ phương nên IM có phương trình: $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{y+2}{1}\Rightarrow M(1+t;-2t;-2+t)$.
Do $M\in (P)\Rightarrow t+t+4t-2+t-5=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M(2;-2;-1)$
Khi đó $a=2;b=-2;c=-1\Rightarrow T=a+2b+3c=-5$.
Ta có: ${{S}_{IMN}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}IN.MN=\sqrt{2}\xrightarrow{IN=R=2}MN=\sqrt{2}\Rightarrow IM=\sqrt{M{{N}^{2}}+I{{N}^{2}}}=\sqrt{6}$.
Khi đó: $\sqrt{6}=IM\ge d\left( I,(P) \right)=\sqrt{6}\Rightarrow IM=d\left( I,(P) \right)$.
Suy ra M là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Khi đó, IM nhận $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(1;-2;1)$ làm vectơ chỉ phương nên IM có phương trình: $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{y+2}{1}\Rightarrow M(1+t;-2t;-2+t)$.
Do $M\in (P)\Rightarrow t+t+4t-2+t-5=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M(2;-2;-1)$
Khi đó $a=2;b=-2;c=-1\Rightarrow T=a+2b+3c=-5$.
Đáp án B.