Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+2z-1=0$ và cắt mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=6$ theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là $2\pi $. Biết $\left( Q \right)$ có dạng $-x+ay+bz+c=0$, giá trị của c sẽ là
A. 1 hoặc 13.
B. -1 hoặc 13.
C. -13.
D. 13.
Do (Q) // (P) nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng
$x+2y+2z+d=0,\left( d\ne -1 \right)$
Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=6$ có tâm I(1; 0; 3) và bán kính $R=\sqrt{6}$.
Đường tròn giao tuyến có bán kính $r=\sqrt{\dfrac{S}{\pi }}=\sqrt{\dfrac{2\pi }{\pi }}=\sqrt{2}$.
Kí hiệu như hình vẽ, ta có $IH=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=2=d\left( I,\left( Q \right) \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left| 1+0+6+d \right|}{3}=2$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& d=-1\left( L \right) \\
& d=-13\left( TM \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( Q \right): x+2y+2z-13=0 $ hay $ \left( Q \right):-x-2y-2z+13=0$
Suy ra $c=13$.
A. 1 hoặc 13.
B. -1 hoặc 13.
C. -13.
D. 13.
Do (Q) // (P) nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng
$x+2y+2z+d=0,\left( d\ne -1 \right)$
Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=6$ có tâm I(1; 0; 3) và bán kính $R=\sqrt{6}$.
Đường tròn giao tuyến có bán kính $r=\sqrt{\dfrac{S}{\pi }}=\sqrt{\dfrac{2\pi }{\pi }}=\sqrt{2}$.
Kí hiệu như hình vẽ, ta có $IH=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=2=d\left( I,\left( Q \right) \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left| 1+0+6+d \right|}{3}=2$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& d=-1\left( L \right) \\
& d=-13\left( TM \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( Q \right): x+2y+2z-13=0 $ hay $ \left( Q \right):-x-2y-2z+13=0$
Suy ra $c=13$.
Đáp án D.