Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25$ cắt mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-2\text{z}-9=0$ theo giao tuyến là một đường tròn (T) có đường kính CD. Biết A là một điểm di động thuộc mặt cầu (S) sao cho hình chiếu vuông góc của A trên $(\alpha )$ là điểm B thuộc đường tròn (T) (khác C, D). Thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD là
A. 32
B. 96
C. 16
D. 64
A. 32
B. 96
C. 16
D. 64
Mặt cầu (S) có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính R = 5.
Gọi I là tâm đường tròn (T), khi đó: $OI=d\left( O,(\alpha ) \right)=\dfrac{9}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=3$
$\Rightarrow C\text{D}=2CI=2\sqrt{{{R}^{2}}-O{{I}^{2}}}=2\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=8$.
Gọi BH là đường kính của (T), khi đó: $AB=2\text{O}I=6$.
Ta có: ${{V}_{ABC\text{D}}}=\dfrac{1}{3}.AB.{{S}_{BC\text{D}}}=\dfrac{1}{3}AB.\dfrac{1}{2}BK.C\text{D=8BK}$
Với K là hình chiếu vuông góc của B trên CD.
Ta có: $BK\le BI=\dfrac{C\text{D}}{2}=4$. Dấu "=" xảy ra khi $K\equiv I$ hay $BI\bot C\text{D}$.
Suy ra: ${{V}_{ABC\text{D}}}=8BK\le 8.4=32\Rightarrow {{({{V}_{ABC\text{D}}})}_{\max }}=32$.
Gọi I là tâm đường tròn (T), khi đó: $OI=d\left( O,(\alpha ) \right)=\dfrac{9}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=3$
$\Rightarrow C\text{D}=2CI=2\sqrt{{{R}^{2}}-O{{I}^{2}}}=2\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=8$.
Gọi BH là đường kính của (T), khi đó: $AB=2\text{O}I=6$.
Ta có: ${{V}_{ABC\text{D}}}=\dfrac{1}{3}.AB.{{S}_{BC\text{D}}}=\dfrac{1}{3}AB.\dfrac{1}{2}BK.C\text{D=8BK}$
Với K là hình chiếu vuông góc của B trên CD.
Ta có: $BK\le BI=\dfrac{C\text{D}}{2}=4$. Dấu "=" xảy ra khi $K\equiv I$ hay $BI\bot C\text{D}$.
Suy ra: ${{V}_{ABC\text{D}}}=8BK\le 8.4=32\Rightarrow {{({{V}_{ABC\text{D}}})}_{\max }}=32$.
Đáp án A.