Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): {{(x+2)}^{2}}+(y-3){}^{2}+{{(z-1)}^{2}}=\dfrac{13}{2}$ và ba điểm $A(-1 ;2 ;3)$, $B(0 ; 4 ; 6)$, $C(-2 ; 1 ; 5)$ ; $M(a;b;c)$ là điểm thay đổi trên $(S)$ sao cho biểu thức $2M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $a+b+c.$
A. $a+b+c=\dfrac{13}{2}.$
B. $a+b+c=4.$
C. $a+b+c=6.$
D. $a+b+c=12.$
Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow I(2{{x}_{A}}+{{x}_{B}}-2{{x}_{C}};2{{y}_{A}}+{{y}_{B}}-2{{y}_{C}};2{{z}_{A}}+{{z}_{B}}-2{{z}_{C}})$
$\Rightarrow I(2; 6 ; 2)$.
Suy ra là điểm cố $I$ định.
$P=2M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}=M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}(2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC})+2I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-2I{{C}^{2}}$
$P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $ MI$ đạt giá trị nhỏ nhất.
$(S): {{(x+2)}^{2}}+(y-3){}^{2}+{{(z-1)}^{2}}=\dfrac{13}{2}$ có tâm $J(-2 ; 3 ; 1)$ và bán kính $R=\dfrac{\sqrt{26}}{2}$
Suy ra $IJ=\sqrt{26}$
Mà $ M$ là điểm thay đổi trên $(S)$ nên $ MI$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M\equiv B$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& IJ=\sqrt{26} \\
& BJ=R=\dfrac{\sqrt{26}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B $ là trung điểm của $ IJ $ $ \Rightarrow B(0;\dfrac{9}{2};\dfrac{3}{2})\Rightarrow M(0;\dfrac{9}{2};\dfrac{3}{2})\Rightarrow a+b+c=6.$
A. $a+b+c=\dfrac{13}{2}.$
B. $a+b+c=4.$
C. $a+b+c=6.$
D. $a+b+c=12.$
$\Rightarrow I(2{{x}_{A}}+{{x}_{B}}-2{{x}_{C}};2{{y}_{A}}+{{y}_{B}}-2{{y}_{C}};2{{z}_{A}}+{{z}_{B}}-2{{z}_{C}})$
$\Rightarrow I(2; 6 ; 2)$.
Suy ra là điểm cố $I$ định.
$P=2M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}=M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}(2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC})+2I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-2I{{C}^{2}}$
$P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $ MI$ đạt giá trị nhỏ nhất.
$(S): {{(x+2)}^{2}}+(y-3){}^{2}+{{(z-1)}^{2}}=\dfrac{13}{2}$ có tâm $J(-2 ; 3 ; 1)$ và bán kính $R=\dfrac{\sqrt{26}}{2}$
Suy ra $IJ=\sqrt{26}$
Mà $ M$ là điểm thay đổi trên $(S)$ nên $ MI$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M\equiv B$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& IJ=\sqrt{26} \\
& BJ=R=\dfrac{\sqrt{26}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B $ là trung điểm của $ IJ $ $ \Rightarrow B(0;\dfrac{9}{2};\dfrac{3}{2})\Rightarrow M(0;\dfrac{9}{2};\dfrac{3}{2})\Rightarrow a+b+c=6.$
Đáp án C.