Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) nhận mặt phẳng (Oxy) và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y-z-6=0$ làm các mặt phẳng đối xứng. Biết khoảng cách từ gốc O đến một điểm M nằm trên mặt cầu (S) có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là 12 và 2, điểm O nằm bên ngoài khối cầu (S). Tung độ của tâm mặt cầu có giá trị dương và bằng
A. $\dfrac{-12+\sqrt{209}}{5}.$
B. $4\sqrt{2}.$
C. 5.
D. $\dfrac{12+\sqrt{209}}{5}.$
A. $\dfrac{-12+\sqrt{209}}{5}.$
B. $4\sqrt{2}.$
C. 5.
D. $\dfrac{12+\sqrt{209}}{5}.$
Do mặt cầu $\left( S \right)$ nhận mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y-z-6=0$ làm các mặt phẳng đối xứng nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right):z=0$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y-z-6=0$.
Giao tuyến của $\left( Oxy \right)$ và $\left( P \right)$ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2t+6 \\
& y=t \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( -2t+6;t;0 \right)$
Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& O{{M}_{\max }}=OI+R=12 \\
& O{{M}_{\min }}=OI-R=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OI=7$ (do O nằm ngoài mặt cầu)
$\Rightarrow {{\left( -2t+6 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}=49\Leftrightarrow 5{{t}^{2}}-24t-25=0\xrightarrow{t>0}t=\dfrac{12+\sqrt{209}}{5}$.
Giao tuyến của $\left( Oxy \right)$ và $\left( P \right)$ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2t+6 \\
& y=t \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( -2t+6;t;0 \right)$
Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& O{{M}_{\max }}=OI+R=12 \\
& O{{M}_{\min }}=OI-R=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OI=7$ (do O nằm ngoài mặt cầu)
$\Rightarrow {{\left( -2t+6 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}=49\Leftrightarrow 5{{t}^{2}}-24t-25=0\xrightarrow{t>0}t=\dfrac{12+\sqrt{209}}{5}$.
Đáp án D.