Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$ và điểm $M(1;3;-1)$, biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ $M$ tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $J\left( a;b;c \right)$. Giá trị $T=2a+b+c$ bằng
A. $T=\dfrac{134}{25}$.
B. $T=\dfrac{62}{25}$.
C. $T=\dfrac{84}{25}$.
D. $T=\dfrac{116}{25}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-1;2 \right),R=3,IM=5$.
Gọi $A,B$ là các tiếp điểm. Khi đó các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ $M$ tới mặt cầu đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $J$ là trung điểm của dây $AB$.
Xét $\Delta IAM$ có $I{{A}^{2}}=IJ.IM\Leftrightarrow I{{J}^{2}}=\dfrac{9}{25}$.
Phương trình $IM:\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=-1+4t \\
& z=2-3t \\
\end{aligned} \right. $. Vì $ J\in IM\Rightarrow J\left( 1;4t-1;2-3t \right),t\in \mathbb{R}$.
Ta có: $I{{J}^{2}}=\dfrac{9}{25}\Leftrightarrow {{\left( 4t \right)}^{2}}+{{\left( -3t \right)}^{2}}=\dfrac{81}{25}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=\dfrac{81}{{{25}^{2}}}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{9}{25} \\
& t=-\dfrac{9}{25} \\
\end{aligned} \right.$.
+) Với $t=\dfrac{9}{25}\Rightarrow J\left( 1;\dfrac{11}{25};\dfrac{23}{25} \right)\Rightarrow T=2a+b+c=\dfrac{84}{25}$.
+) Với $t=-\dfrac{9}{25}\Rightarrow J\left( 1;\dfrac{-61}{25};\dfrac{77}{25} \right)\Rightarrow T=2a+b+c=\dfrac{66}{25}$. (loại)
A. $T=\dfrac{134}{25}$.
B. $T=\dfrac{62}{25}$.
C. $T=\dfrac{84}{25}$.
D. $T=\dfrac{116}{25}$.
Gọi $A,B$ là các tiếp điểm. Khi đó các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ $M$ tới mặt cầu đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $J$ là trung điểm của dây $AB$.
Xét $\Delta IAM$ có $I{{A}^{2}}=IJ.IM\Leftrightarrow I{{J}^{2}}=\dfrac{9}{25}$.
Phương trình $IM:\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=-1+4t \\
& z=2-3t \\
\end{aligned} \right. $. Vì $ J\in IM\Rightarrow J\left( 1;4t-1;2-3t \right),t\in \mathbb{R}$.
Ta có: $I{{J}^{2}}=\dfrac{9}{25}\Leftrightarrow {{\left( 4t \right)}^{2}}+{{\left( -3t \right)}^{2}}=\dfrac{81}{25}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=\dfrac{81}{{{25}^{2}}}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{9}{25} \\
& t=-\dfrac{9}{25} \\
\end{aligned} \right.$.
+) Với $t=\dfrac{9}{25}\Rightarrow J\left( 1;\dfrac{11}{25};\dfrac{23}{25} \right)\Rightarrow T=2a+b+c=\dfrac{84}{25}$.
+) Với $t=-\dfrac{9}{25}\Rightarrow J\left( 1;\dfrac{-61}{25};\dfrac{77}{25} \right)\Rightarrow T=2a+b+c=\dfrac{66}{25}$. (loại)
Đáp án C.