Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+ax+by+cz+d=0$ có bán kính $R=\sqrt{19},$ đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix}
x=5+t \\
y=-2-4t \\
z=-1-4t \\
\end{matrix} \right. $ và mặt phẳng $ \left( P \right):3x-y-3z-1=0. $ Trong các số $ \left\{ a;b;c;d \right\} $ theo thứ tự dưới đây, số nào thỏa mãn $ a+b+c+d=43, $ đồng thời tâm $ I $ của $ \left( S \right) $ thuộc đường thẳng $ d $ và $ \left( S \right) $ tiếp xúc với mặt phẳng $ \left( P \right)?$
A. $\left\{ -6;-12;-14;75 \right\}.$
B. $\left\{ 6;10;20;7 \right\}.$
C. $\left\{ -10;4;2;47 \right\}.$
D. $\left\{ 3;5;6;29 \right\}.$
Ta có $I\in d\Rightarrow I\left( 5+t;-2-4t;-1-4t \right).$
Do $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ nên $d\left( I;\left( P \right) \right)=R=\sqrt{19}\Leftrightarrow \left| 19+19t \right|=19\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
t=0 \\
t=-2 \\
\end{matrix} \right.$
Mặt khác $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -\dfrac{a}{2};-\dfrac{b}{2};-\dfrac{c}{2} \right);$ bán kính $R=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}-d}=\sqrt{19}$
Xét khi $t=0\Rightarrow I\left( 5;-2;-1 \right)\Rightarrow \left\{ a;b;c;d \right\}=\left\{ -10;4;2;47 \right\}$
Do $\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}-d\ne 19$ nên ta loại trường hợp này.
Xét khi $t=2\Rightarrow \left\{ a;b;c;d \right\}=\left\{ -6;-12;-14;75 \right\}$
Do $\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}-d=19$ nên thỏa.
x=5+t \\
y=-2-4t \\
z=-1-4t \\
\end{matrix} \right. $ và mặt phẳng $ \left( P \right):3x-y-3z-1=0. $ Trong các số $ \left\{ a;b;c;d \right\} $ theo thứ tự dưới đây, số nào thỏa mãn $ a+b+c+d=43, $ đồng thời tâm $ I $ của $ \left( S \right) $ thuộc đường thẳng $ d $ và $ \left( S \right) $ tiếp xúc với mặt phẳng $ \left( P \right)?$
A. $\left\{ -6;-12;-14;75 \right\}.$
B. $\left\{ 6;10;20;7 \right\}.$
C. $\left\{ -10;4;2;47 \right\}.$
D. $\left\{ 3;5;6;29 \right\}.$
Ta có $I\in d\Rightarrow I\left( 5+t;-2-4t;-1-4t \right).$
Do $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ nên $d\left( I;\left( P \right) \right)=R=\sqrt{19}\Leftrightarrow \left| 19+19t \right|=19\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
t=0 \\
t=-2 \\
\end{matrix} \right.$
Mặt khác $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -\dfrac{a}{2};-\dfrac{b}{2};-\dfrac{c}{2} \right);$ bán kính $R=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}-d}=\sqrt{19}$
Xét khi $t=0\Rightarrow I\left( 5;-2;-1 \right)\Rightarrow \left\{ a;b;c;d \right\}=\left\{ -10;4;2;47 \right\}$
Do $\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}-d\ne 19$ nên ta loại trường hợp này.
Xét khi $t=2\Rightarrow \left\{ a;b;c;d \right\}=\left\{ -6;-12;-14;75 \right\}$
Do $\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}-d=19$ nên thỏa.
Đáp án A.