Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz,$ cho hai điểm $M\left(...

Gọi $A\left( a;0;0 \right)\in Ox$ và $B\left( 0;b;0 \right)\in Oy.$
Xét các vectơ $\overrightarrow{MN}\left( -2;-2;-2 \right);\overrightarrow{MA}\left( a-1;-2;-1 \right);\overrightarrow{MB}\left( 1;b;1 \right);\overrightarrow{BN}\left( -1;-b;-1 \right).$
Theo giả thuyết có mặt phẳng đi qua các điểm $A,B,M,N$ suy ra bốn điểm $A,B,M,N$ đồng phẳng tức là
$\left[ \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MA} \right].\overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow \left( -2;-2a;2+2a \right).\left( 1;b;1 \right)=0\Leftrightarrow 2a\left( 1-b \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right).$
Hơn nữa ta có $AM=\sqrt{3}BN\Leftrightarrow A{{M}^{2}}=3B{{N}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}-3{{b}^{2}}-2a=0\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right. \\
& {{a}^{2}}-3{{b}^{2}}-2a=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right. \left( loa\ddot{i}i \right) \\
& \left\{ \begin{aligned}
& b=1 \\
& a=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& b=1 \\
& a=3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ứng với một cặp điểm $A;B$ ta được một mặt phẳng thoả mãn yêu cầu bài toán, nên suy ra có tất cả hai mặt phẳng thoả yêu cầu bài toán.