Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ $:\left\{ \begin{matrix}
x=4-3t \\
y=3+4t \\
z=0 \\
\end{matrix} \right. $. Gọi $ A $ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $ O $ lên đường thẳng $ d $. Điểm $ M $ di động trên tia $ Oz $, điểm $ N $ di động trên đường thẳng $ d $ sao cho $ MN=OM+AN $. Gọi $ I $ là trung điểm $ OA $. Khi diện tích tam giác $ IMN $ đạt giá trị nhỏ nhất, một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $ \left( M;d \right)$là
A. $\left( 4;3;5\sqrt{2} \right)$.
B. $\left( 4;3;10\sqrt{2} \right)$.
C. $\left( 4;3;5\sqrt{10} \right)$.
D. $\left( 4;3;10\sqrt{10} \right)$.
Ta có:$$$\left\{ \begin{matrix}
A=\left( 4-3t;3+4t;0 \right)\in d \\
\overrightarrow{OA.}\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow -3\left( 4-3t \right)+4\left( 3+4t \right)=0\Rightarrow t=0\Rightarrow A\left( 4;3;0 \right)\Rightarrow I\left( 2;\dfrac{3}{2};0 \right)$.
Lại có:$\left\{ \begin{matrix}
OA\bot d \\
OA\bot Oz \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow $ $ OA $ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $ d;Oz $ đồng thời $ d\bot Oz$
Vì vậy:
$MN=OM+AN\Leftrightarrow {{\left( \overrightarrow{AN}-\left( \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA} \right) \right)}^{2}}={{\left( OM+AN \right)}^{2}}\Leftrightarrow O{{A}^{2}}=2OM.AN$ $\Leftrightarrow OM.AN=\dfrac{O{{A}^{2}}}{2}$ $\Leftrightarrow $ $MN$ tiếp xúc với mặt cầu đường kính $OA$ $\Leftrightarrow d\left( I;MN \right)=\dfrac{OA}{2}=\dfrac{5}{2}$.
Suy ra:$$ ${{S}_{IMN}}=\frac{1}{2}d\left( I;MN \right).MN=\frac{5}{4}MN$.
Diện tích tam giác $IMN$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MN$ nhỏ nhất. Lại có:
$\begin{align}
& MN=OM+AN\ge 2\sqrt{OM.AN}\Leftrightarrow MN=OM+AN\ge 2\sqrt{\frac{O{{A}^{2}}}{2}} \\
& \Leftrightarrow MN\ge 5\sqrt{2} \\
\end{align}$
Dấu = đạt được khi và chỉ khi $OM=AN=\sqrt{\frac{O{{A}^{2}}}{2}}=\sqrt{\frac{25}{2}}\Leftrightarrow M\left( 0;0;\frac{5\sqrt{2}}{2} \right)$.
Vì vậy: $\overrightarrow{{{n}_{\left( M;d \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right]=\left( -10\sqrt{2};-\frac{15\sqrt{2}}{2};-25 \right)$ cùng phương với véc tơ có tọa độ$$
$\left( 4;3;5\sqrt{2} \right)$.
x=4-3t \\
y=3+4t \\
z=0 \\
\end{matrix} \right. $. Gọi $ A $ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $ O $ lên đường thẳng $ d $. Điểm $ M $ di động trên tia $ Oz $, điểm $ N $ di động trên đường thẳng $ d $ sao cho $ MN=OM+AN $. Gọi $ I $ là trung điểm $ OA $. Khi diện tích tam giác $ IMN $ đạt giá trị nhỏ nhất, một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $ \left( M;d \right)$là
A. $\left( 4;3;5\sqrt{2} \right)$.
B. $\left( 4;3;10\sqrt{2} \right)$.
C. $\left( 4;3;5\sqrt{10} \right)$.
D. $\left( 4;3;10\sqrt{10} \right)$.
Ta có:$$$\left\{ \begin{matrix}
A=\left( 4-3t;3+4t;0 \right)\in d \\
\overrightarrow{OA.}\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow -3\left( 4-3t \right)+4\left( 3+4t \right)=0\Rightarrow t=0\Rightarrow A\left( 4;3;0 \right)\Rightarrow I\left( 2;\dfrac{3}{2};0 \right)$.
Lại có:$\left\{ \begin{matrix}
OA\bot d \\
OA\bot Oz \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow $ $ OA $ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $ d;Oz $ đồng thời $ d\bot Oz$
Vì vậy:
$MN=OM+AN\Leftrightarrow {{\left( \overrightarrow{AN}-\left( \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA} \right) \right)}^{2}}={{\left( OM+AN \right)}^{2}}\Leftrightarrow O{{A}^{2}}=2OM.AN$ $\Leftrightarrow OM.AN=\dfrac{O{{A}^{2}}}{2}$ $\Leftrightarrow $ $MN$ tiếp xúc với mặt cầu đường kính $OA$ $\Leftrightarrow d\left( I;MN \right)=\dfrac{OA}{2}=\dfrac{5}{2}$.
Suy ra:$$ ${{S}_{IMN}}=\frac{1}{2}d\left( I;MN \right).MN=\frac{5}{4}MN$.
Diện tích tam giác $IMN$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MN$ nhỏ nhất. Lại có:
$\begin{align}
& MN=OM+AN\ge 2\sqrt{OM.AN}\Leftrightarrow MN=OM+AN\ge 2\sqrt{\frac{O{{A}^{2}}}{2}} \\
& \Leftrightarrow MN\ge 5\sqrt{2} \\
\end{align}$
Dấu = đạt được khi và chỉ khi $OM=AN=\sqrt{\frac{O{{A}^{2}}}{2}}=\sqrt{\frac{25}{2}}\Leftrightarrow M\left( 0;0;\frac{5\sqrt{2}}{2} \right)$.
Vì vậy: $\overrightarrow{{{n}_{\left( M;d \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right]=\left( -10\sqrt{2};-\frac{15\sqrt{2}}{2};-25 \right)$ cùng phương với véc tơ có tọa độ$$
$\left( 4;3;5\sqrt{2} \right)$.
Đáp án A.