Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d$...

Ta có:\left\{ \begin{matrix}
A=\left( 4-3t;3+4t;0 \right)\in d \\
\overrightarrow{OA.}\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow -3\left( 4-3t \right)+4\left( 3+4t \right)=0\Rightarrow t=0\Rightarrow A\left( 4;3;0 \right)\Rightarrow I\left( 2;\dfrac{3}{2};0 \right)\left\{ \begin{matrix}
OA\bot d \\
OA\bot Oz \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow OA d;Oz d\bot OzMN=OM+AN\Leftrightarrow {{\left( \overrightarrow{AN}-\left( \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA} \right) \right)}^{2}}={{\left( OM+AN \right)}^{2}}\Leftrightarrow O{{A}^{2}}=2OM.AN\Leftrightarrow OM.AN=\dfrac{O{{A}^{2}}}{2}\Leftrightarrow MNOA\Leftrightarrow d\left( I;MN \right)=\dfrac{OA}{2}=\dfrac{5}{2}$.
Suy ra:$$ .
Diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất. Lại có:

Dấu = đạt được khi và chỉ khi .
Vì vậy: cùng phương với véc tơ có tọa độ$$
$\left( 4;3;5\sqrt{2} \right)$.