Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $M\left( 1;2;5 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M$ và cắt các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là
A. $x+2y+5z-30=0$.
B. $\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{1}=1$.
C. $x+y+z-8=0$.
D. $\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{1}=0$.
A. $x+2y+5z-30=0$.
B. $\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{1}=1$.
C. $x+y+z-8=0$.
D. $\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{1}=0$.
Giả sử $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)\left( abc\ne 0 \right)$. Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
Theo đề bài ta có $M\in \left( P \right)$ nên ta có $\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{5}{c}=1$ (1)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\left( 1-a;2;5 \right),\overrightarrow{BM}=\left( 1;2-b;5 \right),\overrightarrow{BC}=\left( 0;-b;c \right);\overrightarrow{AC}=\left( -a;0;c \right)$.
Do $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AM.}\overrightarrow{BC}=0 \\
& \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2b+5c=0 \\
& -a+5c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=\dfrac{5c}{2} \\
& a=5c \\
\end{aligned} \right.$(2)
Từ (1) và (2) ta có $\dfrac{1}{5c}+\dfrac{4}{5c}+\dfrac{5}{c}=1\Leftrightarrow 30=5c\Leftrightarrow c=6\Rightarrow b=15;a=30$.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\dfrac{x}{30}+\dfrac{y}{15}+\dfrac{z}{6}=1\Leftrightarrow x+2y+5z-30=0$.
Theo đề bài ta có $M\in \left( P \right)$ nên ta có $\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{5}{c}=1$ (1)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\left( 1-a;2;5 \right),\overrightarrow{BM}=\left( 1;2-b;5 \right),\overrightarrow{BC}=\left( 0;-b;c \right);\overrightarrow{AC}=\left( -a;0;c \right)$.
Do $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AM.}\overrightarrow{BC}=0 \\
& \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2b+5c=0 \\
& -a+5c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=\dfrac{5c}{2} \\
& a=5c \\
\end{aligned} \right.$(2)
Từ (1) và (2) ta có $\dfrac{1}{5c}+\dfrac{4}{5c}+\dfrac{5}{c}=1\Leftrightarrow 30=5c\Leftrightarrow c=6\Rightarrow b=15;a=30$.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\dfrac{x}{30}+\dfrac{y}{15}+\dfrac{z}{6}=1\Leftrightarrow x+2y+5z-30=0$.
Đáp án A.