Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho điểm $I\left( 1;0;0 \right)$, điểm $M\left( \dfrac{7}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{4}{9} \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right. $. $ N\left( a,b,c \right) $ là điểm thuộc đường thẳng $ d $ sao cho diện tích tam giác $ IMN $ nhỏ nhất. Khi đó $ a+b+c$ có giá trị bằng:
A. $2$.
B. $-2$.
C. $\dfrac{5}{2}$.
D. $\dfrac{-5}{2}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $N$ trên đường thẳng $d'$ đi qua $I,M$, ta có: ${{S}_{\Delta IMN}}=\dfrac{1}{2}IM.NH=\dfrac{1}{3}NH$
Diện tích tam giác $IMN$ nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài $NH$ nhỏ nhất.
$N\in d\Rightarrow N\left( 2;n;1+n \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{IN}=\left( 1;n;1+n \right)$.
Đường thẳng $d'$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u'}=\left( 1;-2;-2 \right)$. $\left[ \overrightarrow{IN},\overrightarrow{u'} \right]=\left( 2;n+3;-n-2 \right)$.
$NH=d\left( N;d' \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IN},\overrightarrow{u'} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u'} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( n+3 \right)}^{2}}+{{\left( -n-2 \right)}^{2}}}}{3}=\dfrac{\sqrt{2{{\left( n+\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{4}}}{3}\ge \dfrac{1}{2}$.
Dấu $=$ xảy ra khi $n=-\dfrac{5}{2}$, suy ra: $N\left( 2;-\dfrac{5}{2};-\dfrac{3}{2} \right)$. Vậy $a+b+c=-2$.
& x=2 \\
& y=t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right. $. $ N\left( a,b,c \right) $ là điểm thuộc đường thẳng $ d $ sao cho diện tích tam giác $ IMN $ nhỏ nhất. Khi đó $ a+b+c$ có giá trị bằng:
A. $2$.
B. $-2$.
C. $\dfrac{5}{2}$.
D. $\dfrac{-5}{2}$.
Ta có $IM=\dfrac{2}{3}$.Gọi $H$ là hình chiếu của $N$ trên đường thẳng $d'$ đi qua $I,M$, ta có: ${{S}_{\Delta IMN}}=\dfrac{1}{2}IM.NH=\dfrac{1}{3}NH$
Diện tích tam giác $IMN$ nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài $NH$ nhỏ nhất.
$N\in d\Rightarrow N\left( 2;n;1+n \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{IN}=\left( 1;n;1+n \right)$.
Đường thẳng $d'$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u'}=\left( 1;-2;-2 \right)$. $\left[ \overrightarrow{IN},\overrightarrow{u'} \right]=\left( 2;n+3;-n-2 \right)$.
$NH=d\left( N;d' \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IN},\overrightarrow{u'} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u'} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( n+3 \right)}^{2}}+{{\left( -n-2 \right)}^{2}}}}{3}=\dfrac{\sqrt{2{{\left( n+\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{4}}}{3}\ge \dfrac{1}{2}$.
Dấu $=$ xảy ra khi $n=-\dfrac{5}{2}$, suy ra: $N\left( 2;-\dfrac{5}{2};-\dfrac{3}{2} \right)$. Vậy $a+b+c=-2$.
Đáp án B.