Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $A(3;0;-2)$ và mặt cầu $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z+3)}^{2}}=25$. Một đường thẳng d đi qua A, cắt mặt cầu tại hai điểm M, N. Độ dài ngắn nhất của MN là
A. 8
B. 4
C. 6
D. 10
Mặt cầu $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z+3)}^{2}}=25$ có tâm $I(1;-2;-3)$ và bán kính $R=5$. Ta có $AI=3<R$ nên điểm A nằm trong mặt cầu.
Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng d. Ta có $IH\le IA$.
Mặt khác $MN=2.\sqrt{I{{M}^{2}}-I{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=2\sqrt{25-I{{H}^{2}}}$
Để MN có độ dài ngắn nhất thì $I{{H}_{\max }}\Leftrightarrow IH=IA\Leftrightarrow H\equiv A\Leftrightarrow M{{N}_{\min }}=2\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=8$.
A. 8
B. 4
C. 6
D. 10
Mặt cầu $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z+3)}^{2}}=25$ có tâm $I(1;-2;-3)$ và bán kính $R=5$. Ta có $AI=3<R$ nên điểm A nằm trong mặt cầu.
Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng d. Ta có $IH\le IA$.
Mặt khác $MN=2.\sqrt{I{{M}^{2}}-I{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=2\sqrt{25-I{{H}^{2}}}$
Để MN có độ dài ngắn nhất thì $I{{H}_{\max }}\Leftrightarrow IH=IA\Leftrightarrow H\equiv A\Leftrightarrow M{{N}_{\min }}=2\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=8$.
Đáp án A.