Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left( a;0;0 \right),$ $B\left( 0;b;0 \right),$ $C\left( 0;0;c \right),$ $\left( a,b,c>0 \right)$ và $\dfrac{3}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{3}{c}=5.$ Biết mặt phẳng $\left( ABC \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\dfrac{304}{25}.$ Thể tích của khối tứ diện OABC nằm trong khoảng nào?
A. $\left( 1;3 \right).$
B. $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right).$
C. $\left( 0;1 \right).$
D. $\left( 4;5 \right).$
A. $\left( 1;3 \right).$
B. $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right).$
C. $\left( 0;1 \right).$
D. $\left( 4;5 \right).$
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1,$ mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 3;1;3 \right).$
Ta có $\dfrac{3}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{3}{c}=5\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{3}{5}}{a}+\dfrac{\dfrac{1}{5}}{b}+\dfrac{\dfrac{3}{5}}{c}=1$
Xét điểm $M\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5} \right)\in \left( ABC \right)$ mặt khác $M\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5} \right)\in \left( S \right)$
Do đó điểm $M\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5} \right)$ là tiếp điểm của $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$
Ta có ${{\overrightarrow{n}}_{\left( ABC \right)}}=\overrightarrow{MI}=\dfrac{4}{5}\left( 3;1;3 \right)\Rightarrow \left( ABC \right):3\left( x-\dfrac{3}{5} \right)+\left( y-\dfrac{1}{5} \right)+3\left( z-\dfrac{3}{5} \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( ABC \right):\dfrac{x}{\dfrac{19}{15}}+\dfrac{x}{\dfrac{19}{5}}+\dfrac{x}{\dfrac{19}{15}}=1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=c=\dfrac{19}{15} \\
& b=\dfrac{19}{5} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy ${{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{6}abc=\dfrac{6859}{6750}\approx 1,016.$
Ta có $\dfrac{3}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{3}{c}=5\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{3}{5}}{a}+\dfrac{\dfrac{1}{5}}{b}+\dfrac{\dfrac{3}{5}}{c}=1$
Xét điểm $M\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5} \right)\in \left( ABC \right)$ mặt khác $M\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5} \right)\in \left( S \right)$
Do đó điểm $M\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5} \right)$ là tiếp điểm của $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$
Ta có ${{\overrightarrow{n}}_{\left( ABC \right)}}=\overrightarrow{MI}=\dfrac{4}{5}\left( 3;1;3 \right)\Rightarrow \left( ABC \right):3\left( x-\dfrac{3}{5} \right)+\left( y-\dfrac{1}{5} \right)+3\left( z-\dfrac{3}{5} \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( ABC \right):\dfrac{x}{\dfrac{19}{15}}+\dfrac{x}{\dfrac{19}{5}}+\dfrac{x}{\dfrac{19}{15}}=1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=c=\dfrac{19}{15} \\
& b=\dfrac{19}{5} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy ${{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{6}abc=\dfrac{6859}{6750}\approx 1,016.$
Đáp án A.