Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right);C\left( 0;0;c \right)$ (trong đó $a>0, b>0, c>0$ ). Mặt phẳng $\left( ABC \right)$ đi qua $I\left( 3;4;7 \right)$ sao cho thể tích khối chóp $OABC$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là
A. $21x+28y+12z-259=0$.
B. $12x+21y+28z-316=0$.
C. $28x+21y+12z-252=0$.
D. $28x+12y+21z-279=0$.
A. $21x+28y+12z-259=0$.
B. $12x+21y+28z-316=0$.
C. $28x+21y+12z-252=0$.
D. $28x+12y+21z-279=0$.
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ có dạng: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$. Do $I\in \left( ABC \right)$ nên $\dfrac{3}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{7}{c}=1$.
Lại có $1=\dfrac{3}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{7}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{3}{a}.\dfrac{4}{b}.\dfrac{7}{c}}=3\sqrt[3]{\dfrac{84}{abc}}\Rightarrow abc\ge 27.84=2268$.
Khi đó: ${{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{6}OA.OB.OC=\dfrac{1}{6}abc\ge 378$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{a}=\dfrac{4}{b}=\dfrac{7}{c}\Rightarrow a=9;b=12;c=21$.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ : $\dfrac{x}{9}+\dfrac{y}{12}+\dfrac{z}{21}=1\Leftrightarrow 28x+21y+12z-252=0$.
Lại có $1=\dfrac{3}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{7}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{3}{a}.\dfrac{4}{b}.\dfrac{7}{c}}=3\sqrt[3]{\dfrac{84}{abc}}\Rightarrow abc\ge 27.84=2268$.
Khi đó: ${{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{6}OA.OB.OC=\dfrac{1}{6}abc\ge 378$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{a}=\dfrac{4}{b}=\dfrac{7}{c}\Rightarrow a=9;b=12;c=21$.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ : $\dfrac{x}{9}+\dfrac{y}{12}+\dfrac{z}{21}=1\Leftrightarrow 28x+21y+12z-252=0$.
Đáp án C.
