Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $B(2;5;0), C(4;7;0)$ và $K(1;1;3)$. Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua $K$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$. Khi $2d(B;(Q))+d(C;(Q))$ đạt giá trị lớn nhất, giao tuyến của $\left( Oxy \right)$ và $(Q)$ đi qua điểm nào sau đây?
A. $P(8;-4;0)$.
B. $N(15;-4;0)$.
C. $S\left( 15;\dfrac{7}{2};0 \right)$.
D. $M(3;2;0)$.
A. $P(8;-4;0)$.
B. $N(15;-4;0)$.
C. $S\left( 15;\dfrac{7}{2};0 \right)$.
D. $M(3;2;0)$.
Gọi $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)$ là pháp tuyến của mặt phẳng $\left( Q \right)$.
Do $\left( Q \right)$ vuông góc với $\left( Oxy \right)$ nên $\overrightarrow{n}=\left( a;b;0 \right)$, mà $\left( Q \right)$ đi qua $K$ nên $\left( Q \right):ax+by-a-b=0$.
Trường hợp 1: $B$, $C$ nằm cùng phía so với $\left( Q \right)$, khi đó:
$2d\left( B,\left( Q \right) \right)+d\left( C,\left( Q \right) \right)=\dfrac{2\left| a+4b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}+\dfrac{\left| 3a+6b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$
$=\dfrac{\left| 2a+8b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}+\dfrac{\left| 3a+6b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\dfrac{\left| 5a+14b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\le \dfrac{\sqrt{{{5}^{2}}+{{14}^{2}}}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\sqrt{221}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{14}\Rightarrow \left( Q \right):5x+14y-19=0$.
Trường hợp 2: $B$, $C$ nằm khác phía so với $\left( Q \right)$, khi đó:
$2d\left( B,\left( Q \right) \right)+d\left( C,\left( Q \right) \right)=\dfrac{2\left| a+4b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}+\dfrac{\left| 3a+6b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$
$=\dfrac{\left| 2a+8b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}+\dfrac{\left| 3a+6b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\dfrac{\left| -a+2b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\le \dfrac{\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( 2 \right)}^{2}}}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\sqrt{5}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{a}{-1}=\dfrac{b}{2}\Rightarrow \left( Q \right):-x+2y-1=0$.
Vậy $\left( Q \right)$ có phương trình là $\left( Q \right):5x+14y-19=0$.
Điểm qua giao tuyến của mặt phẳng $\left( Q \right)$ và $\left( Oxy \right)$ là $N(15;-4;0)$.
Do $\left( Q \right)$ vuông góc với $\left( Oxy \right)$ nên $\overrightarrow{n}=\left( a;b;0 \right)$, mà $\left( Q \right)$ đi qua $K$ nên $\left( Q \right):ax+by-a-b=0$.
Trường hợp 1: $B$, $C$ nằm cùng phía so với $\left( Q \right)$, khi đó:
$2d\left( B,\left( Q \right) \right)+d\left( C,\left( Q \right) \right)=\dfrac{2\left| a+4b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}+\dfrac{\left| 3a+6b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$
$=\dfrac{\left| 2a+8b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}+\dfrac{\left| 3a+6b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\dfrac{\left| 5a+14b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\le \dfrac{\sqrt{{{5}^{2}}+{{14}^{2}}}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\sqrt{221}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{14}\Rightarrow \left( Q \right):5x+14y-19=0$.
Trường hợp 2: $B$, $C$ nằm khác phía so với $\left( Q \right)$, khi đó:
$2d\left( B,\left( Q \right) \right)+d\left( C,\left( Q \right) \right)=\dfrac{2\left| a+4b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}+\dfrac{\left| 3a+6b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$
$=\dfrac{\left| 2a+8b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}+\dfrac{\left| 3a+6b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\dfrac{\left| -a+2b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\le \dfrac{\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( 2 \right)}^{2}}}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\sqrt{5}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{a}{-1}=\dfrac{b}{2}\Rightarrow \left( Q \right):-x+2y-1=0$.
Vậy $\left( Q \right)$ có phương trình là $\left( Q \right):5x+14y-19=0$.
Điểm qua giao tuyến của mặt phẳng $\left( Q \right)$ và $\left( Oxy \right)$ là $N(15;-4;0)$.
Đáp án B.