Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ ${O x y z}$, cho mặt cầu ${(S): x^2+y^2+z^2+2 x-4 y-2 z=0}$ và điểm ${M(0 ; 1 ; 0)}$. Mặt phẳng ${(P)}$ đi qua ${M}$ và cắt ${(S)}$ theo đường tròn ${(C)}$ có chu vi nhỏ nhất. Gọi ${N\left(x_0 ; y_0 ; z_0\right)}$ là điểm thuộc đường tròn ${(C)}$ sao cho ${O N=\sqrt{6}}$. Tính ${y_0}$.
A. ${3}$.
B. ${1}$.
C. ${2}$.
D. ${4}$.
Gọi ${r}$ là bán kính hình tròn ${(C)}$ và ${H}$ là hình chiếu của ${I}$ lên ${(P)}$. Dễ thấy rằng ${H}$ là tâm đường tròn ${(C)}$. Khi đó, ta có
${r=\sqrt{R^2-IH^2}\ge\sqrt{R^2-IM^2}.}$
Vậy để ${(C)}$ có chu vi nhỏ nhất thì ${r}$ nhỏ nhất khi đó ${H}$ trùng với ${M}$.
Khi đó mặt phẳng ${(P)}$ đi qua ${M(0;1;0)}$ và nhậnvectơ ${\overrightarrow{IM}=(1;-1;-1)}$ làmvectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng ${(P)}$ có dạng
${x-(y-1)-z=0\Leftrightarrow x-y-z=-1.}$
Điểm ${N}$ vừa thuộc mặt cầu ${(S)}$ vừa thuộc mặt phẳng ${(P)}$ và thỏa ${ON=\sqrt{6}}$ nên tọa độ của ${N}$ thỏa hệ phương trình.
${\begin{aligned}\left\{\begin{aligned}&x^2_0+y_0^2+z_0^2+2x_0-4y_0-2z_0=0\\&x_0^2+y_0^2+z_0^2=6\\&x_0-y_0-z_0=-1\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&2x_0-4y_0-2z_0=-6\\&x_0^2+y_0^2+z_0^2=6\\&x_0-y_0-z_0=-1.\end{aligned}\right.\end{aligned}}$
Lấy phương trình đầu trừ hai lần phương trình thứ ba ta được ${-2y_0=-4\Leftrightarrow y_0=2}$.
A. ${3}$.
B. ${1}$.
C. ${2}$.
D. ${4}$.
Nhận thấy rằng, mặt cầu ${(S)}$ có tâm ${I(-1;2;1)}$, bán kính ${R=\sqrt{6}}$ và điểm ${M}$ là điểm nằm trong mặt cầu này.Gọi ${r}$ là bán kính hình tròn ${(C)}$ và ${H}$ là hình chiếu của ${I}$ lên ${(P)}$. Dễ thấy rằng ${H}$ là tâm đường tròn ${(C)}$. Khi đó, ta có
${r=\sqrt{R^2-IH^2}\ge\sqrt{R^2-IM^2}.}$
Vậy để ${(C)}$ có chu vi nhỏ nhất thì ${r}$ nhỏ nhất khi đó ${H}$ trùng với ${M}$.
Khi đó mặt phẳng ${(P)}$ đi qua ${M(0;1;0)}$ và nhậnvectơ ${\overrightarrow{IM}=(1;-1;-1)}$ làmvectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng ${(P)}$ có dạng
${x-(y-1)-z=0\Leftrightarrow x-y-z=-1.}$
${\begin{aligned}\left\{\begin{aligned}&x^2_0+y_0^2+z_0^2+2x_0-4y_0-2z_0=0\\&x_0^2+y_0^2+z_0^2=6\\&x_0-y_0-z_0=-1\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&2x_0-4y_0-2z_0=-6\\&x_0^2+y_0^2+z_0^2=6\\&x_0-y_0-z_0=-1.\end{aligned}\right.\end{aligned}}$
Lấy phương trình đầu trừ hai lần phương trình thứ ba ta được ${-2y_0=-4\Leftrightarrow y_0=2}$.
Đáp án C.