Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-3}{3}=\dfrac{z+4}{-5}$ và ${{d}_{2}}:\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-4}{-2}=\dfrac{z-4}{-1}$ có phương trình
A. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z-3}{4}$.
B. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$.
C. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-3}{2}$.
D. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$.
A. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z-3}{4}$.
B. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$.
C. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-3}{2}$.
D. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm.
Gọi $A=\Delta \cap {{d}_{1}} ;B=\Delta \cap {{d}_{2}}\Rightarrow A\left( 2+2t ;3+3t ; -4-5t \right) ,B\left( -1+3{t}'; 4-2{t}';4-{t}' \right)$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 3{t}'-2t-3 ; -2{t}'-3t+1 ; -{t}'+5t+8 \right)$.
Gọi $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=\left( 2 ; 3;-5 \right),\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=\left( 3 ;-2;-1 \right)$ lần lượt là véc tơ chỉ phương của $\Delta ,{{d}_{1}},{{d}_{2}}$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\
\end{aligned} \right. $.Chọn $ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d1}}},\overrightarrow{{{u}_{d2}}} \right]=(-13;-13;-13)=-13(1;1;1)=-13\overrightarrow{u}$
Vì $\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{u}$ đều là véc tơ chỉ phương của $\Delta $ nên ta có:
$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{u}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{t}'-2t-3=k \\
& -2{t}'-3t+1=k \\
& -{t}'+5t+8=k \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{t}'-2t-k=3 \\
& -2{t}'-3t-k=-1 \\
& -{t}'+5t-k=-8 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {t}'=1 \\
& t=-1 \\
& k=2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow A\left( 0 ;0;1 \right)$.
$\Rightarrow \Delta :\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$.
Gọi $A=\Delta \cap {{d}_{1}} ;B=\Delta \cap {{d}_{2}}\Rightarrow A\left( 2+2t ;3+3t ; -4-5t \right) ,B\left( -1+3{t}'; 4-2{t}';4-{t}' \right)$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 3{t}'-2t-3 ; -2{t}'-3t+1 ; -{t}'+5t+8 \right)$.
Gọi $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=\left( 2 ; 3;-5 \right),\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=\left( 3 ;-2;-1 \right)$ lần lượt là véc tơ chỉ phương của $\Delta ,{{d}_{1}},{{d}_{2}}$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\
\end{aligned} \right. $.Chọn $ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d1}}},\overrightarrow{{{u}_{d2}}} \right]=(-13;-13;-13)=-13(1;1;1)=-13\overrightarrow{u}$
Vì $\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{u}$ đều là véc tơ chỉ phương của $\Delta $ nên ta có:
$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{u}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{t}'-2t-3=k \\
& -2{t}'-3t+1=k \\
& -{t}'+5t+8=k \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{t}'-2t-k=3 \\
& -2{t}'-3t-k=-1 \\
& -{t}'+5t-k=-8 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {t}'=1 \\
& t=-1 \\
& k=2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow A\left( 0 ;0;1 \right)$.
$\Rightarrow \Delta :\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$.
Đáp án D.