Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z+11=0$. Xét điểm $M$ di động trên $\left( P \right)$, các điểm $A,B,C$ phân biệt di động trên $\left( S \right)$ sao cho $AM,BM,CM$ là các tiếp tuyến của $\left( S \right)$. Mặt phẳng $\left( ABC \right)$ luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây ?
A. $E\left( 0;3;-1 \right)$.
B. $F\left( \dfrac{1}{4};\dfrac{-1}{2};\dfrac{-1}{2} \right)$.
C. $H\left( 0;-1;3 \right)$.
D. $H\left( \dfrac{3}{2};0;2 \right)$.
A. $E\left( 0;3;-1 \right)$.
B. $F\left( \dfrac{1}{4};\dfrac{-1}{2};\dfrac{-1}{2} \right)$.
C. $H\left( 0;-1;3 \right)$.
D. $H\left( \dfrac{3}{2};0;2 \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;1;1 \right)$, bán kính $R=2\sqrt{3}$
Xét điểm $M\left( a;b;c \right)$ ; $A\left( x;y;z \right)$ ta có hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12 \\
& A{{I}^{2}}+A{{M}^{2}}=I{{M}^{2}} \\
& a-2b+2c+11=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12\text{ (1)} \\
& 12+{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}\text{ (2)} \\
& a-2b+2c+11=0\text{ (3)} \\
\end{aligned} \right.$
Lấy (1) – (2) theo vế ta được: $\left( a-1 \right)x+\left( b-1 \right)y+\left( c-1 \right)z-a-b-c-9=0$
Vậy mặt phẳng $\left( Q \right):\left( a-1 \right)x+\left( b-1 \right)y+\left( c-1 \right)z-a-b-c-9=0$ là mặt phẳng đi qua ba tiếp điểm.
Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng $\left( Q \right)$ luôn đi qua điểm cố định $\left( 0;3;-1 \right)$.
Xét điểm $M\left( a;b;c \right)$ ; $A\left( x;y;z \right)$ ta có hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12 \\
& A{{I}^{2}}+A{{M}^{2}}=I{{M}^{2}} \\
& a-2b+2c+11=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12\text{ (1)} \\
& 12+{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}\text{ (2)} \\
& a-2b+2c+11=0\text{ (3)} \\
\end{aligned} \right.$
Lấy (1) – (2) theo vế ta được: $\left( a-1 \right)x+\left( b-1 \right)y+\left( c-1 \right)z-a-b-c-9=0$
Vậy mặt phẳng $\left( Q \right):\left( a-1 \right)x+\left( b-1 \right)y+\left( c-1 \right)z-a-b-c-9=0$ là mặt phẳng đi qua ba tiếp điểm.
Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng $\left( Q \right)$ luôn đi qua điểm cố định $\left( 0;3;-1 \right)$.
Đáp án A.