Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai đường chéo nhau ${{d}_{1}}:\dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-11}{-1}$ ${{d}_{2}}:\dfrac{x+4}{-7}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-4}{3}$. Tìm điểm I không thuộc ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ sao cho $d\left( I;{{d}_{1}} \right)+d\left( I;{{d}_{2}} \right)$ nhỏ nhất.
A. $I\left( 5;2;5 \right).$
B. $I\left( 7;3;9 \right)$.
C. $I\left( 7;-2;-11 \right)$.
D. $I\left( -7;2;11 \right)$.
A. $I\left( 5;2;5 \right).$
B. $I\left( 7;3;9 \right)$.
C. $I\left( 7;-2;-11 \right)$.
D. $I\left( -7;2;11 \right)$.
Phương trình tham số của đường thẳng ${{d}_{1}}$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=5+t \\
& y=-1+2t \\
& z=11-t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right).$
Phương trình tham số của đường thẳng ${{d}_{2}}$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-4-7{t}' \\
& y=3+2{t}' \\
& z=4+3{t}' \\
\end{aligned} \right.\left( {t}'\in \mathbb{R} \right)$.
${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;2;-1 \right),\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -7;2;3 \right)$. Gọi $AB$ là đoạn vuông góc chung của ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ thì $A\left( 5+t;-1+2t;11-t \right)$ ; $B\left( -4-7{t}';3+2{t}';4+3{t}' \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -7t'-t-9;2{t}'-2t+4;3{t}'+t-7 \right).$
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -6t'-6t+6=0 \\
& 62{t}'+6t+50=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {t}'=-1 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right. $ suy ra: $ A\left( 7;3;9 \right);B\left( 3;1;1 \right)$.
Có $d\left( I;{{d}_{1}} \right)+d\left( I;{{d}_{2}} \right)\ge AB$. Đẳng thức xảy ra khi $I$ thuộc đoạn $AB.$
Thử từng đáp án, với $I\left( 5;2;5 \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AI}=\left( -2;-1;-4 \right) \\
& \overrightarrow{AB}=\left( -4;-2;-8 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.$
& x=5+t \\
& y=-1+2t \\
& z=11-t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right).$
Phương trình tham số của đường thẳng ${{d}_{2}}$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-4-7{t}' \\
& y=3+2{t}' \\
& z=4+3{t}' \\
\end{aligned} \right.\left( {t}'\in \mathbb{R} \right)$.
${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;2;-1 \right),\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -7;2;3 \right)$. Gọi $AB$ là đoạn vuông góc chung của ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ thì $A\left( 5+t;-1+2t;11-t \right)$ ; $B\left( -4-7{t}';3+2{t}';4+3{t}' \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -7t'-t-9;2{t}'-2t+4;3{t}'+t-7 \right).$
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -6t'-6t+6=0 \\
& 62{t}'+6t+50=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {t}'=-1 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right. $ suy ra: $ A\left( 7;3;9 \right);B\left( 3;1;1 \right)$.
Có $d\left( I;{{d}_{1}} \right)+d\left( I;{{d}_{2}} \right)\ge AB$. Đẳng thức xảy ra khi $I$ thuộc đoạn $AB.$
Thử từng đáp án, với $I\left( 5;2;5 \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AI}=\left( -2;-1;-4 \right) \\
& \overrightarrow{AB}=\left( -4;-2;-8 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.$
Đáp án A.