Trong không gian với hệ tọa độ $\text{Ox}yz$, cho hai điểm...

$(S)$ là mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I(4;3;4)$ và bán kính $R={\displaystyle \frac{AB}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{4^2+4^2+2^2}}{2}}=3$ .
Dễ thấy $H$ nằm ngoài đoạn $IA$ thì thể tích khối nón sẽ lớn hơn khi thấy $H$ nằm trong đoạn $IA$.
$IH=x(0<x<3)$, bán kính mặt nón đỉnh $A$ là $r=\sqrt{R^2-I{H}^2}=\sqrt{9-x^2}$.
Thể tích khối nón là $V={\displaystyle \frac{1}{3}}AH.\pi .r^2={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi (3+x)(9-x^2)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-x^3-3x^2+9x+27)=f\left(x\right)$ .
Xét $f(x)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-x^3-3x^2+9x+27)$ trên khoảng $(0;3)$
có $f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-3x^2-6x+9)=0\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=-3\end{array}$

Bảng biến thiên của $f(x)$ trên khoảng $(0;3)$ :
Thể tích khối nón lớn nhất khi $IH=x=1$, mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $AB$ tại $H$ nhận
$\overrightarrow{AB}=(4;4;2)$ làm véctơ pháp tuyến nên phương trình mp $(P)$ có dạng $2x+2y+z+d=0$
$IH=x=1=d(I,(P))={\displaystyle \frac{|2.4+2.3+4+d|}{\sqrt{4+4+1}}}={\displaystyle \frac{|18+d|}{3}}\iff |18+d|=3$ $\iff [\begin{array}{c}d=21\\ d=-15\end{array}$
Với $d=-15$ thì mp $(P):2x+2y+z-15=0$, hai điểm $A$ , $I$ nằm khác phía $(P)$ nên loại.
Với $d=21$ thì mp $(P):2x+2y+z-21=0$, hai điểm $A$ , $I$ nằm cùng phía $(P)$ thỏa mãn nên
ta có $\iff \{\begin{array}{c}b=2\\ c=1\\ d=-21\end{array}\Rightarrow b+c+d=-18.$