Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $\text{Ox}yz$, cho hai điểm $A(2;1;3)$, $B(6;5;5)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu đường kính $AB$. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $AB$ tại $H$ sao cho khối nón đỉnh $A$ và đáy là hình tròn tâm $H$ có thể tích lớn nhất, biết rằng $(P):2x+by+cz+d=0$ với $b,c,d\in \mathbb{R}$. Tính $S=b+c+d$.
A. $S=24$.
B. $S=-18$.
C. $S=-12$.
D. $S=18$.
A. $S=24$.
B. $S=-18$.
C. $S=-12$.
D. $S=18$.
$(S)$ là mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I(4;3;4)$ và bán kính $R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{{{4}^{2}}+{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}}{2}=3$ .
Dễ thấy $H$ nằm ngoài đoạn $IA$ thì thể tích khối nón sẽ lớn hơn khi thấy $H$ nằm trong đoạn $IA$.
$IH=x (0<x<3)$, bán kính mặt nón đỉnh $A$ là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{9-{{x}^{2}}}$.
Thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}AH.\pi .{{r}^{2}}=\dfrac{1}{3}\pi \left( 3+x \right)\left( 9-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{\pi }{3}\left( -{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x+27 \right)=f\left( x \right)$ .
Xét $f(x)=\dfrac{\pi }{3}\left( -{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x+27 \right)$ trên khoảng $\left( 0;3 \right)$
có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{\pi }{3}\left( -3{{x}^{2}}-6x+9 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x=-3 \\
\end{matrix} \right.$
Bảng biến thiên của $f(x)$ trên khoảng $\left( 0;3 \right)$ :
Thể tích khối nón lớn nhất khi $IH=x=1$, mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $AB$ tại $H$ nhận
$\overrightarrow{AB}=\left( 4;4;2 \right)$ làm véctơ pháp tuyến nên phương trình mp $(P)$ có dạng $2x+2y+z+d=0$
$IH=x=1=d(I,(P))=\dfrac{\left| 2.4+2.3+4+d \right|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac{\left| 18+d \right|}{3}\Leftrightarrow \left| 18+d \right|=3$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
d=21 \\
d=-15 \\
\end{matrix} \right.$
Với $d=-15$ thì mp $(P):2x+2y+z-15=0$, hai điểm $A$ , $I$ nằm khác phía $(P)$ nên loại.
Với $d=21$ thì mp $(P):2x+2y+z-21=0$, hai điểm $A$ , $I$ nằm cùng phía $(P)$ thỏa mãn nên
ta có $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
b=2 \\
c=1 \\
d=-21 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow b+c+d=-18.$
Dễ thấy $H$ nằm ngoài đoạn $IA$ thì thể tích khối nón sẽ lớn hơn khi thấy $H$ nằm trong đoạn $IA$.
$IH=x (0<x<3)$, bán kính mặt nón đỉnh $A$ là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{9-{{x}^{2}}}$.
Thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}AH.\pi .{{r}^{2}}=\dfrac{1}{3}\pi \left( 3+x \right)\left( 9-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{\pi }{3}\left( -{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x+27 \right)=f\left( x \right)$ .
Xét $f(x)=\dfrac{\pi }{3}\left( -{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x+27 \right)$ trên khoảng $\left( 0;3 \right)$
có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{\pi }{3}\left( -3{{x}^{2}}-6x+9 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x=-3 \\
\end{matrix} \right.$
Bảng biến thiên của $f(x)$ trên khoảng $\left( 0;3 \right)$ :
Thể tích khối nón lớn nhất khi $IH=x=1$, mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $AB$ tại $H$ nhận
$\overrightarrow{AB}=\left( 4;4;2 \right)$ làm véctơ pháp tuyến nên phương trình mp $(P)$ có dạng $2x+2y+z+d=0$
$IH=x=1=d(I,(P))=\dfrac{\left| 2.4+2.3+4+d \right|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac{\left| 18+d \right|}{3}\Leftrightarrow \left| 18+d \right|=3$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
d=21 \\
d=-15 \\
\end{matrix} \right.$
Với $d=-15$ thì mp $(P):2x+2y+z-15=0$, hai điểm $A$ , $I$ nằm khác phía $(P)$ nên loại.
Với $d=21$ thì mp $(P):2x+2y+z-21=0$, hai điểm $A$ , $I$ nằm cùng phía $(P)$ thỏa mãn nên
ta có $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
b=2 \\
c=1 \\
d=-21 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow b+c+d=-18.$
Đáp án B.