Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ $\text{Ox}yz$, cho các điểm $S\left( 0;0;1 \right)$, $P\left( 1;1;1 \right)$ và $M\left( m;0;0 \right),N\left( 0;n;0 \right)$ thay đổi sao cho $m+n=1$ và $m>0,n>0$. Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định qua $P$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( SMN \right)$. Tính bán kính của mặt cầu đó.
A. $\sqrt{2}$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $\sqrt{3}$.
A. $\sqrt{2}$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $\sqrt{3}$.
Phương trình $\left( SMN \right)$ : $\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}+\dfrac{z}{1}=1$ $\Leftrightarrow nx+my+mmz-mn=0$.
Do $m+n=1$ nên suy ra $nx+\left( 1-n \right)y+n\left( 1-n \right)z-n\left( 1-n \right)=0$
Gọi $I\left( a;b;c \right)$ và $R$ lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ cố định đi qua $P$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( SMN \right)$.
Khi đó, ta có $IP=\sqrt{{{\left( 1-a \right)}^{2}}+{{\left( 1-b \right)}^{2}}+{{\left( 1-c \right)}^{2}}}={{R}^{2}}$ $\left( * \right)$
và $d\left( I;\left( SMN \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| na+\left( 1-n \right)b+nc\left( 1-n \right)-n\left( 1-n \right) \right|}{\sqrt{{{n}^{2}}+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}{{m}^{2}}}}=R$.
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| na+\left( 1-n \right)b+nc\left( 1-n \right)-n\left( 1-n \right) \right|}{1-\left( 1-n \right)n}=R$
$\Leftrightarrow \left| \left( 1-c \right){{n}^{2}}+\left( a-b+c-1 \right)n+b \right|=R\left( 1-n+{{n}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left( 1-c \right){{n}^{2}}+\left( a-b+c-1 \right)n+b=R\left( 1-n+{{n}^{2}} \right)\text{ }\left( 1 \right) \\
& \left( 1-c \right){{n}^{2}}+\left( a-b+c-1 \right)n+b=R\left( -1+n-{{n}^{2}} \right)\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-c=R \\
& a-b+c-1=-R \\
& b=R \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=1-R \\
& b=R \\
& a=R \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \sqrt{2{{\left( 1-R \right)}^{2}}+{{R}^{2}}}={{R}^{2}}$ $\Leftrightarrow R=1$
(2) làm tương tự.
Vậy $R=1$
Do $m+n=1$ nên suy ra $nx+\left( 1-n \right)y+n\left( 1-n \right)z-n\left( 1-n \right)=0$
Gọi $I\left( a;b;c \right)$ và $R$ lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ cố định đi qua $P$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( SMN \right)$.
Khi đó, ta có $IP=\sqrt{{{\left( 1-a \right)}^{2}}+{{\left( 1-b \right)}^{2}}+{{\left( 1-c \right)}^{2}}}={{R}^{2}}$ $\left( * \right)$
và $d\left( I;\left( SMN \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| na+\left( 1-n \right)b+nc\left( 1-n \right)-n\left( 1-n \right) \right|}{\sqrt{{{n}^{2}}+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}{{m}^{2}}}}=R$.
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| na+\left( 1-n \right)b+nc\left( 1-n \right)-n\left( 1-n \right) \right|}{1-\left( 1-n \right)n}=R$
$\Leftrightarrow \left| \left( 1-c \right){{n}^{2}}+\left( a-b+c-1 \right)n+b \right|=R\left( 1-n+{{n}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left( 1-c \right){{n}^{2}}+\left( a-b+c-1 \right)n+b=R\left( 1-n+{{n}^{2}} \right)\text{ }\left( 1 \right) \\
& \left( 1-c \right){{n}^{2}}+\left( a-b+c-1 \right)n+b=R\left( -1+n-{{n}^{2}} \right)\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-c=R \\
& a-b+c-1=-R \\
& b=R \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=1-R \\
& b=R \\
& a=R \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \sqrt{2{{\left( 1-R \right)}^{2}}+{{R}^{2}}}={{R}^{2}}$ $\Leftrightarrow R=1$
(2) làm tương tự.
Vậy $R=1$
Đáp án C.