Google
Câu hỏi: Trong không gian $\text{Ox}yz$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $(P):3x-4y-20=0$ và hai mặt cầu $({{S}_{1}}):{{(x-7)}^{2}}+{{(y+7)}^{2}}+{{(z-5)}^{2}}=24{{;}^{{}}}({{S}_{2}}):{{(x-3)}^{2}}+{{(y+5)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=\dfrac{3}{2}.$ Gọi $A,M,N$ lần lượt là các điểm thuộc $(P);({{S}_{1}});({{S}_{2}})$. Giá trị nhỏ nhất của $d=AM+AN$ là
A. $\dfrac{4\sqrt{6}}{5}.$
B. $\dfrac{11\sqrt{6}}{10}.$
C. $\dfrac{3\sqrt{6}}{5}.$.
D. $\dfrac{2\sqrt{6}}{5}.$
Gọi ${{I}_{1}}'$ là đường tròn đối xứng với ${{I}_{1}}$ qua $(P)$
$\Rightarrow M'$ đối xứng với $M$ qua $(P)\Rightarrow AM=AM'$
${{I}_{1}}(7;-7;5);{{R}_{1}}=\sqrt{24};{{I}_{2}}(3;-5;1);{{R}_{2}}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$
Gọi $\left\{ M'' \right\}={{I}_{1}}'{{I}_{2}}\cap ({{I}_{1}}');\left\{ N'' \right\}{{=}_{1}}'{{I}_{2}}\cap ({{I}_{2}})$
Ta có: $AM+AN=AM'+AN\ge M'N$
Dấu “ = ” xảy ra khi $M',A,N$ thẳng hàng
Ta có: $d=AM+AN$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M'N=M''N''=I{{'}_{1}}{{I}_{2}}-{{R}_{1}}-{{R}_{2}}$
Gọi O là hình chiếu của ${{I}_{1}}$ xuống $(P)$
Phương trình đường thẳng $O{{I}_{1}}$ có dạng: $\left\{ \begin{aligned}
& x=7+3t \\
& y=-7-4t \\
& z=5 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi O là giao điểm của đường thẳng $O{{I}_{1}}$ và $(P)$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow 3(7+3t)-(-7-4t)-20=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-29}{25} \\
& \Rightarrow O\left( \dfrac{88}{25};\dfrac{-59}{25};5 \right)\Rightarrow {{I}_{1}}'\left( \dfrac{1}{25};\dfrac{57}{25};5 \right) \\
& \Rightarrow {{I}_{1}}'{{I}_{2}}=\dfrac{18\sqrt{5}}{5} \\
& \Rightarrow d=\dfrac{11\sqrt{6}}{10} \\
\end{aligned}$
A. $\dfrac{4\sqrt{6}}{5}.$
B. $\dfrac{11\sqrt{6}}{10}.$
C. $\dfrac{3\sqrt{6}}{5}.$.
D. $\dfrac{2\sqrt{6}}{5}.$
$\Rightarrow M'$ đối xứng với $M$ qua $(P)\Rightarrow AM=AM'$
${{I}_{1}}(7;-7;5);{{R}_{1}}=\sqrt{24};{{I}_{2}}(3;-5;1);{{R}_{2}}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$
Gọi $\left\{ M'' \right\}={{I}_{1}}'{{I}_{2}}\cap ({{I}_{1}}');\left\{ N'' \right\}{{=}_{1}}'{{I}_{2}}\cap ({{I}_{2}})$
Ta có: $AM+AN=AM'+AN\ge M'N$
Dấu “ = ” xảy ra khi $M',A,N$ thẳng hàng
Ta có: $d=AM+AN$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M'N=M''N''=I{{'}_{1}}{{I}_{2}}-{{R}_{1}}-{{R}_{2}}$
Gọi O là hình chiếu của ${{I}_{1}}$ xuống $(P)$
Phương trình đường thẳng $O{{I}_{1}}$ có dạng: $\left\{ \begin{aligned}
& x=7+3t \\
& y=-7-4t \\
& z=5 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi O là giao điểm của đường thẳng $O{{I}_{1}}$ và $(P)$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow 3(7+3t)-(-7-4t)-20=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-29}{25} \\
& \Rightarrow O\left( \dfrac{88}{25};\dfrac{-59}{25};5 \right)\Rightarrow {{I}_{1}}'\left( \dfrac{1}{25};\dfrac{57}{25};5 \right) \\
& \Rightarrow {{I}_{1}}'{{I}_{2}}=\dfrac{18\sqrt{5}}{5} \\
& \Rightarrow d=\dfrac{11\sqrt{6}}{10} \\
\end{aligned}$
Đáp án B.