Trong không gian với hệ tọa độ $\text{O}xyz,$ cho bốn đường thẳng...

${{d}_{1}}$ đi qua điểm $A\left( 3;-3;0 \right),$ nhận $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( -1;1;1 \right)$ làm VTCP
${{d}_{2}}$ đi qua điểm $B\left( 1;1;0 \right),$ nhận $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;2;-1 \right)$ làm VTCP
${{d}_{3}}$ đi qua điểm $C\left( 0;-2;-1 \right),$ nhận $\overrightarrow{{{u}_{3}}}=\left( 1;-1;-1 \right)$ làm VTCP
${{d}_{4}}$ đi qua điểm $D\left( 6;a;b \right),$ nhận $\overrightarrow{{{u}_{4}}}=\left( 1;3;1 \right)$ làm VTCP
Vì $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=-\overrightarrow{{{u}_{3}}}$ và $\overrightarrow{AC}=\left( -3;1;-1 \right)\ne k\overrightarrow{{{u}_{1}}}\Rightarrow {{d}_{1}}\text{// }{{d}_{3}}$
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{3}}$ thì $\left( \alpha \right)$ đi qua $C\left( 0;-2;-1 \right),$ nhận $\overrightarrow{n}=-\dfrac{1}{2}\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 1;2;-1 \right)$ nên $\left( \alpha \right)$ có phương trình $\left( \alpha \right):x+2y-z+3=0$
Vì $\overrightarrow{{{n}_{(\alpha )}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}\ne 0\Rightarrow {{d}_{2}}$ cắt $\left( \alpha \right)$ tại điểm $M\left( 0;-1;1 \right)$
Tương tự $\overrightarrow{{{n}_{(\alpha )}}}.\overrightarrow{{{u}_{4}}}\ne 0\Rightarrow {{d}_{4}}$ cắt $\left( \alpha \right)$ tại điểm $N\left( 6+t;a+3t;b+t \right)$
$\overrightarrow{MN}=\left( 6+t;a+3t+1;b+t-1 \right)$
Do đó để không có đường thẳng nào cắt đồng thời cả $4$ đường thẳng đã cho thì $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{{{u}_{1}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{6+t}{-1}=\dfrac{a+3t+1}{1}=\dfrac{b+t-1}{1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-4t-7 \\
& b=-2t-5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-4t-7 \\
& 2b=-4t-10 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2b-a=-3$.