Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm $A\left( 0;0;1 \right)$, $B\left( m;0;0 \right)$, $C\left( 0;n;0 \right)$, $D\left( 1;1;1 \right)$ với $m>0$, $n>0$ và $m+n=1$. Biết rằng khi m, n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và đi qua D. Bán kính R của mặt cầu đó là
A. $R=1$
B. $R=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $R=\dfrac{3}{2}$
D. $R=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
A. $R=1$
B. $R=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $R=\dfrac{3}{2}$
D. $R=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Gọi $I\left( 1;1;0 \right)$ là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$. Ta có phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}+z=1$
Suy ra phương trình tổng quát của $\left( ABC \right)$ là $nx+my+mnz-mn=0$. Mặt khác
$d\left( I;\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\left| 1-mn \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{m}^{2}}{{n}^{2}}}}=\dfrac{\left| 1-m\left( 1-m \right) \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{\left( 1-m \right)}^{2}}+{{m}^{2}}{{\left( 1-m \right)}^{2}}}}=\dfrac{\left| {{m}^{2}}-m+1 \right|}{\left| {{m}^{2}}-m+1 \right|}=1$
(vì $m+n=1$ ) và $ID=1=d\left( I;\left( ABC \right) \right)$. Nên tồn tại mặt cầu tâm I (là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng Oxy) tiếp xúc với $\left( ABC \right)$ và đi qua D. Khi đó $R=1$
Suy ra phương trình tổng quát của $\left( ABC \right)$ là $nx+my+mnz-mn=0$. Mặt khác
$d\left( I;\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\left| 1-mn \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{m}^{2}}{{n}^{2}}}}=\dfrac{\left| 1-m\left( 1-m \right) \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{\left( 1-m \right)}^{2}}+{{m}^{2}}{{\left( 1-m \right)}^{2}}}}=\dfrac{\left| {{m}^{2}}-m+1 \right|}{\left| {{m}^{2}}-m+1 \right|}=1$
(vì $m+n=1$ ) và $ID=1=d\left( I;\left( ABC \right) \right)$. Nên tồn tại mặt cầu tâm I (là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng Oxy) tiếp xúc với $\left( ABC \right)$ và đi qua D. Khi đó $R=1$
Đáp án A.