Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng...

Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 3;-1;-1 \right)$, đường thẳng ${{d}_{2}}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;1;-1 \right)$. Gọi $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cần tìm.
Do $\left( \alpha \right)$ song song với hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ nên $\overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{1}}}$ và $\overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}}$, từ đó ta chọn $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 2;2;4 \right)$. Suy ra $\left( \alpha \right):x+y+2z+m=0.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;0;-2 \right)$, bán kính $R=\sqrt{6}.$
$\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với$\left( S \right)\Leftrightarrow d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=\sqrt{6}\Leftrightarrow \dfrac{\left| m-3 \right|}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m-3=6 \\
& m-3=-6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=9 \\
& m=-3 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy mặt phẳng cần tìm là$\left[ \begin{aligned}
& x+y+2z-3=0 \\
& x+y+2z+9=0 \\
\end{aligned} \right..$