Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm
$A\left( 1;-7;-8 \right),B\left( 2;-5;-9 \right)$ sao cho khoảng cách từ điểm $M\left( 7;-1;-2 \right)$ đến (P) đạt giá trị lớn nhất. Biết (P) có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( a;b;4 \right)$, khi đó giá trị tổng $a+b$ là
A. -1
B. 3
C. 6
D. 2
$A\left( 1;-7;-8 \right),B\left( 2;-5;-9 \right)$ sao cho khoảng cách từ điểm $M\left( 7;-1;-2 \right)$ đến (P) đạt giá trị lớn nhất. Biết (P) có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( a;b;4 \right)$, khi đó giá trị tổng $a+b$ là
A. -1
B. 3
C. 6
D. 2
Do (P) có một vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( a;b;4 \right)$ và qua $A\left( 1;-7-8 \right)$ nên có phương trình
$(P):a\left( x-1 \right)+b\left( y+7 \right)+4\left( z+8 \right)=0$
Do (P) đi qua $B\left( 2;-5;-9 \right)$ nên $a+2b-4=0\Rightarrow a=4-2b$.
Với $M\left( 7;-1;-2 \right)$, ta có
$d=d\left( M,\left( P \right) \right)=\dfrac{6\left| a+b+4 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+16}}=\dfrac{6\left| 8-b \right|}{\sqrt{5{{b}^{2}}-16b+32}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{d}^{2}}}{36}=\dfrac{{{b}^{2}}-16b+64}{5{{b}^{2}}-16b+32}=f\left( b \right)$
Ta có ${f}'\left( b \right)=\dfrac{64{{b}^{2}}-576b+512}{{{\left( 5{{b}^{2}}-16b+32 \right)}^{2}}}$
Cho ${f}'\left( b \right)=0\Leftrightarrow b=1\vee b=8$
Bảng biến thiên
Như vậy d đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $f\left( b \right)$ đạt giá trị lớn nhất khi $b=1$
$\Rightarrow a=2\Rightarrow a+b=3$
Cách khác:
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên (P) và đường thẳng AB.
Ta có $K\left( 3;-3;-10 \right)$ và $d\left( M,\left( P \right) \right)=MH\le MK$. Dấu bằng xảy ra khi $H\equiv K$, khi đó:
$\overrightarrow{MH}=\left( -4;-2;-8 \right)=-2\left( 2;1;4 \right)$, mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{n}=\left( 2;1;4 \right)$ làm vecto pháp tuyến.
Vậy $a+b=3$
$(P):a\left( x-1 \right)+b\left( y+7 \right)+4\left( z+8 \right)=0$
Do (P) đi qua $B\left( 2;-5;-9 \right)$ nên $a+2b-4=0\Rightarrow a=4-2b$.
Với $M\left( 7;-1;-2 \right)$, ta có
$d=d\left( M,\left( P \right) \right)=\dfrac{6\left| a+b+4 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+16}}=\dfrac{6\left| 8-b \right|}{\sqrt{5{{b}^{2}}-16b+32}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{d}^{2}}}{36}=\dfrac{{{b}^{2}}-16b+64}{5{{b}^{2}}-16b+32}=f\left( b \right)$
Ta có ${f}'\left( b \right)=\dfrac{64{{b}^{2}}-576b+512}{{{\left( 5{{b}^{2}}-16b+32 \right)}^{2}}}$
Cho ${f}'\left( b \right)=0\Leftrightarrow b=1\vee b=8$
Bảng biến thiên
$\Rightarrow a=2\Rightarrow a+b=3$
Cách khác:
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên (P) và đường thẳng AB.
Ta có $K\left( 3;-3;-10 \right)$ và $d\left( M,\left( P \right) \right)=MH\le MK$. Dấu bằng xảy ra khi $H\equiv K$, khi đó:
$\overrightarrow{MH}=\left( -4;-2;-8 \right)=-2\left( 2;1;4 \right)$, mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{n}=\left( 2;1;4 \right)$ làm vecto pháp tuyến.
Vậy $a+b=3$
Đáp án B.