Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z}{2}$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \beta \right):x+y-2z+1=0$. Hỏi giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ đi qua điểm nào?
A. $\left( 0; 1; 3 \right)$
B. $\left( 2; 3; 3 \right)$
C. $\left( 5; 6; 8 \right)$
D. $\left( 1; -2; 0 \right)$
A. $\left( 0; 1; 3 \right)$
B. $\left( 2; 3; 3 \right)$
C. $\left( 5; 6; 8 \right)$
D. $\left( 1; -2; 0 \right)$
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1; 1; 2 \right)$ ; mặt phẳng $\left( \beta \right)$ có một vectơ pháp tuyến là ${{\overrightarrow{n}}_{\beta }}=\left( 1; 1; -2 \right)$. Do $\left\{ \begin{aligned}
& d\subset \left( \alpha \right) \\
& \left( \beta \right)\bot \left( \alpha \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \\
& \overrightarrow{{{n}_{\beta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \\
\end{aligned} \right.$
=> Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}}, \overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]=\left( -4; 4; 0 \right)$
Mà $A\left( 2; 3; 0 \right)\in d, d\subset \left( \alpha \right)\Rightarrow A\in \left( \alpha \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):x-y+1=0$
Giả sử $M\left( x; y; z \right)\in \left( \alpha \right)\cap \left( \beta \right)$. Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& x-y+1=0 \\
& x+y-2z+1=0 \\
\end{aligned} \right.$
Thay các đáp án vào hệ trên ta thấy $M\left( 2; 3; 3 \right)$ thỏa mãn.
& d\subset \left( \alpha \right) \\
& \left( \beta \right)\bot \left( \alpha \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \\
& \overrightarrow{{{n}_{\beta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \\
\end{aligned} \right.$
=> Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}}, \overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]=\left( -4; 4; 0 \right)$
Mà $A\left( 2; 3; 0 \right)\in d, d\subset \left( \alpha \right)\Rightarrow A\in \left( \alpha \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):x-y+1=0$
Giả sử $M\left( x; y; z \right)\in \left( \alpha \right)\cap \left( \beta \right)$. Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& x-y+1=0 \\
& x+y-2z+1=0 \\
\end{aligned} \right.$
Thay các đáp án vào hệ trên ta thấy $M\left( 2; 3; 3 \right)$ thỏa mãn.
Đáp án B.