Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ gọi $d$ đi qua $A\left( -1;0;-1 \right)$, cắt ${{\Delta }_{1}}:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+2}{-1}$, sao cho góc giữa $d$ và ${{\Delta }_{2}}:\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+3}{2}$ là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $d$ là
A. $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{-1}$.
B. $\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z+1}{-2}$.
C. $\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z+1}{-2}$.
D. $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{1}$.
A. $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{-1}$.
B. $\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z+1}{-2}$.
C. $\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z+1}{-2}$.
D. $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{1}$.
Gọi $M=d\cap {{\Delta }_{1}}\Rightarrow M\left( 1+2t;2+t;-2-t \right)$
$d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{a}_{d}}}=\overrightarrow{AM}=\left( 2t+2;t+2;-1-t \right)$
${{\Delta }_{2}}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{a}_{2}}}=\left( -1;2;2 \right)$
$\cos \left( d;{{\Delta }_{2}} \right)=\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{{{t}^{2}}}{6{{t}^{2}}+14t+9}}$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}}{6{{t}^{2}}+14t+9}$, ta suy ra được $\max f\left( t \right)=f\left( -\dfrac{9}{7} \right)=\dfrac{9}{5}$
Do đó $\max \left[ \cos \left( \Delta ,d \right) \right]=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\Leftrightarrow t=-\dfrac{9}{7}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( -\dfrac{4}{7};\dfrac{5}{7};\dfrac{2}{7} \right)$
Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z+1}{-2}$.
$d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{a}_{d}}}=\overrightarrow{AM}=\left( 2t+2;t+2;-1-t \right)$
${{\Delta }_{2}}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{a}_{2}}}=\left( -1;2;2 \right)$
$\cos \left( d;{{\Delta }_{2}} \right)=\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{{{t}^{2}}}{6{{t}^{2}}+14t+9}}$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}}{6{{t}^{2}}+14t+9}$, ta suy ra được $\max f\left( t \right)=f\left( -\dfrac{9}{7} \right)=\dfrac{9}{5}$
Do đó $\max \left[ \cos \left( \Delta ,d \right) \right]=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\Leftrightarrow t=-\dfrac{9}{7}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( -\dfrac{4}{7};\dfrac{5}{7};\dfrac{2}{7} \right)$
Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z+1}{-2}$.
Đáp án C.