Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u}=\left( 2;-1;2 \right)$ và vectơ $\overrightarrow{v}$ có độ dài bằng 1 thỏa mãn $\left| \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right|=4$. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ bằng:
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Theo giả thiết ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left| \overrightarrow{u} \right|=3\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}^{2}}={{\left| \overrightarrow{u} \right|}^{2}}=9 \\
& \left| \overrightarrow{v} \right|=1\Rightarrow {{\overrightarrow{v}}^{2}}={{\left| \overrightarrow{v} \right|}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$
Từ $\left| \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right|=4,$ suy ra ${{\left| \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right|}^{2}}=16\Leftrightarrow {{\overrightarrow{u}}^{2}}+{{\overrightarrow{v}}^{2}}-2\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}=16\left( 2 \right)$
Kết hợp (1) và (2), ta được $\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}=-3$
Khi đó ${{\left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|}^{2}}={{\overrightarrow{u}}^{2}}+{{\overrightarrow{v}}^{2}}+2\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}=9+1-6=4.$ Vậy $\left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|=2.$
& \left| \overrightarrow{u} \right|=3\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}^{2}}={{\left| \overrightarrow{u} \right|}^{2}}=9 \\
& \left| \overrightarrow{v} \right|=1\Rightarrow {{\overrightarrow{v}}^{2}}={{\left| \overrightarrow{v} \right|}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$
Từ $\left| \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right|=4,$ suy ra ${{\left| \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right|}^{2}}=16\Leftrightarrow {{\overrightarrow{u}}^{2}}+{{\overrightarrow{v}}^{2}}-2\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}=16\left( 2 \right)$
Kết hợp (1) và (2), ta được $\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}=-3$
Khi đó ${{\left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|}^{2}}={{\overrightarrow{u}}^{2}}+{{\overrightarrow{v}}^{2}}+2\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}=9+1-6=4.$ Vậy $\left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|=2.$
Đáp án C.