Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ các điểm $A\left( 1;1;1 \right)$, $B\left( 2;0;2 \right)$, $C\left( -1;-1;0 \right)$, $D\left( 0;3;4 \right)$. Trên các cạnh $AB$, $AC$, $AD$ lần lượt lấy các điểm ${B}',{C}',{D}'$ sao cho $\dfrac{AB}{A{B}'}+\dfrac{AC}{A{C}'}+\dfrac{AD}{A{D}'}=4$ và tứ diện $A{B}'{C}'{D}'$ có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng $\left( {B}'{C}'{D}' \right)$ có dạng là $ax+by+cz-d=0$. Tính $a-b+c+d$
A. $23$
B. $19$
C. $21$
D. $20$
Ta có $\dfrac{{{V}_{ABCD}}}{{{V}_{A{B}'{C}'{D}'}}}=\dfrac{AB}{A{B}'}\cdot \dfrac{AC}{A{C}'}\cdot \dfrac{AD}{A{D}'}\le {{\left( \dfrac{\dfrac{AB}{A{B}'}+\dfrac{AC}{A{C}'}+\dfrac{AD}{A{D}'}}{3} \right)}^{3}}={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{3}}$.
Do đó thể tích của $A{B}'{C}'{D}'$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\dfrac{AB}{A{B}'}=\dfrac{AC}{A{C}'}=\dfrac{AD}{A{D}'}=\dfrac{4}{3}$.
Khi đó $\overrightarrow{A{B}'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\Rightarrow {B}'\left( \dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{7}{4} \right)$ và $\left( {B}'{C}'{D}' \right)\ \text{//}\ \left( BCD \right)$.
Mặt khác $\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left( 4;10;-11 \right)$.
Vậy $\left( {B}'{C}'{D}' \right):4\left( x-\dfrac{7}{4} \right)+10\left( y-\dfrac{1}{4} \right)-11\left( z-\dfrac{7}{4} \right)=0$ $\Leftrightarrow 16x+40y-44z+39=0$.
A. $23$
B. $19$
C. $21$
D. $20$
Ta có $\dfrac{{{V}_{ABCD}}}{{{V}_{A{B}'{C}'{D}'}}}=\dfrac{AB}{A{B}'}\cdot \dfrac{AC}{A{C}'}\cdot \dfrac{AD}{A{D}'}\le {{\left( \dfrac{\dfrac{AB}{A{B}'}+\dfrac{AC}{A{C}'}+\dfrac{AD}{A{D}'}}{3} \right)}^{3}}={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{3}}$.
Do đó thể tích của $A{B}'{C}'{D}'$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\dfrac{AB}{A{B}'}=\dfrac{AC}{A{C}'}=\dfrac{AD}{A{D}'}=\dfrac{4}{3}$.
Khi đó $\overrightarrow{A{B}'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\Rightarrow {B}'\left( \dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{7}{4} \right)$ và $\left( {B}'{C}'{D}' \right)\ \text{//}\ \left( BCD \right)$.
Mặt khác $\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left( 4;10;-11 \right)$.
Vậy $\left( {B}'{C}'{D}' \right):4\left( x-\dfrac{7}{4} \right)+10\left( y-\dfrac{1}{4} \right)-11\left( z-\dfrac{7}{4} \right)=0$ $\Leftrightarrow 16x+40y-44z+39=0$.
Đáp án B.