Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm A(1; 1; 1),
B(2; 0; 2), C(- 1; -1;0), D(0; 3; 4). Trên các cạnh AB , AC, AD lần lượt lấy các điểm B', C', D' sao cho $\dfrac{AB}{AB'}+\dfrac{AC}{AC'}+\dfrac{AD}{AD'}=4$ và tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (B'C'D') là:
A. 16x - 40y - 44z - 39 = 0 .
B. 16x - 40y - 44z + 39 = 0.
C. 16x + 40y + 44z - 39 = 0.
D. 16x + 40y - 44z + 39 = 0.
B(2; 0; 2), C(- 1; -1;0), D(0; 3; 4). Trên các cạnh AB , AC, AD lần lượt lấy các điểm B', C', D' sao cho $\dfrac{AB}{AB'}+\dfrac{AC}{AC'}+\dfrac{AD}{AD'}=4$ và tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (B'C'D') là:
A. 16x - 40y - 44z - 39 = 0 .
B. 16x - 40y - 44z + 39 = 0.
C. 16x + 40y + 44z - 39 = 0.
D. 16x + 40y - 44z + 39 = 0.
Ta có: $\dfrac{{{V}_{ABCD}}}{{{V}_{AB'C'D'}}}=\dfrac{AB}{AB'}.\dfrac{AC}{AC'}.\dfrac{AD}{AD'}\le {{\left( \dfrac{\dfrac{AB}{AB'}+\dfrac{AC}{AC'}+\dfrac{AD}{AD'}}{3} \right)}^{3}}={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{3}}$
Do đó thể tích của AB'C'D' nhỏ nhất khi và chỉ khi $\dfrac{AB}{AB'}=\dfrac{AC}{AC'}=\dfrac{AD}{AD'}=\dfrac{4}{3}$
Khi đó: $\overrightarrow{AB'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\Rightarrow B'\left( \dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{7}{4} \right)$ và $\left( B'C'D' \right)$ // $\left( BCD \right)$
Mặt khác $\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left( 4;10;-11 \right)$
Vậy $\left( B'C'D' \right):4\left( x-\dfrac{7}{4} \right)+10\left( y-\dfrac{1}{4} \right)-11\left( z-\dfrac{7}{4} \right)=0$
$\Leftrightarrow 16x+40y-44z+39=0$
Do đó thể tích của AB'C'D' nhỏ nhất khi và chỉ khi $\dfrac{AB}{AB'}=\dfrac{AC}{AC'}=\dfrac{AD}{AD'}=\dfrac{4}{3}$
Khi đó: $\overrightarrow{AB'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\Rightarrow B'\left( \dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{7}{4} \right)$ và $\left( B'C'D' \right)$ // $\left( BCD \right)$
Mặt khác $\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left( 4;10;-11 \right)$
Vậy $\left( B'C'D' \right):4\left( x-\dfrac{7}{4} \right)+10\left( y-\dfrac{1}{4} \right)-11\left( z-\dfrac{7}{4} \right)=0$
$\Leftrightarrow 16x+40y-44z+39=0$
Đáp án D.