Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $\overrightarrow{AB}=\left( -3;0;4 \right)$, $\overrightarrow{AC}=\left( 5;-2;4 \right)$. Độ dài trung tuyến $AM$ là
A. $4\sqrt{2}$.
B. $3\sqrt{2}$.
C. $5\sqrt{3}$.
D. $2\sqrt{3}$.
Ta có $AB=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$ ; $AC=\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}=3\sqrt{5}$.
Lại có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left( -3 \right).5+0.\left( -2 \right)+4.4=1$.
Mặt khác: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\Rightarrow {{\overrightarrow{BC}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)}^{2}}\Rightarrow B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{{B}^{2}}$.
$\Leftrightarrow B{{C}^{2}}={{\left( 3\sqrt{5} \right)}^{2}}-2.1+{{5}^{2}}=68$.
Ta có độ dài đường trung tuyến $AM$ trong tam giác $ABC$ là: $A{{M}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}$.
$\Leftrightarrow A{{M}^{2}}=\dfrac{{{5}^{2}}+{{\left( 3\sqrt{5} \right)}^{2}}}{2}-\dfrac{68}{4}=18\Leftrightarrow AM=3\sqrt{2}$.
A. $4\sqrt{2}$.
B. $3\sqrt{2}$.
C. $5\sqrt{3}$.
D. $2\sqrt{3}$.
Ta có $AB=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$ ; $AC=\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}=3\sqrt{5}$.
Lại có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left( -3 \right).5+0.\left( -2 \right)+4.4=1$.
Mặt khác: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\Rightarrow {{\overrightarrow{BC}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)}^{2}}\Rightarrow B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{{B}^{2}}$.
$\Leftrightarrow B{{C}^{2}}={{\left( 3\sqrt{5} \right)}^{2}}-2.1+{{5}^{2}}=68$.
Ta có độ dài đường trung tuyến $AM$ trong tam giác $ABC$ là: $A{{M}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}$.
$\Leftrightarrow A{{M}^{2}}=\dfrac{{{5}^{2}}+{{\left( 3\sqrt{5} \right)}^{2}}}{2}-\dfrac{68}{4}=18\Leftrightarrow AM=3\sqrt{2}$.
Đáp án B.