Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC, biết...

Cách 1: Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 1; -1; 2 \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{6}, \overrightarrow{AC}=\left( 2; 2; -4 \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{AC} \right|=2\sqrt{6}$
Lấy điểm E trên cạnh AB sao cho $AE=1$. Khi đó
Lấy điểm F trên cạnh AC sao cho $AF=1$. Khi đó
Dựng hình bình hành AEDF, ta có: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=\left( \dfrac{2}{\sqrt{6}}; 0; 0 \right)$.
Vì $AE=AF=1$ nên hình bình hành AEDF là hình thoi. Do đó $\overrightarrow{AD}$ là một vectơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC.
Vậy đường phân giác trong của góc A đi qua điểm $A\left( 2; 1; 0 \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\overrightarrow{AD}=\left( 1; 0; 0 \right)$ nên có phương trình là $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.$
Cách 2: Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1; -1; 2 \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{6}, \overrightarrow{AC}=\left( 2; 2; -4 \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{AC} \right|=2\sqrt{6}$
Gọi D là trung điểm của AC thì $D\left( 3; 2; -2 \right)$. Do $AC=2AB$ nên $AB=AD$
Gọi M là trung điểm của BD thì $M\left( 3; 1; 0 \right)$
Khi đó $\overrightarrow{AM}=\left( 1; 0; 0 \right)$ là vectơ chỉ phương của đường phân giác trong góc BAD hay của góc BAC
Suy ra đường phân giác trong góc BAC có phương trình là $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.$