Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2\text{z}-3=0$ và mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2\text{x}-4y-2\text{z}+5=0$. Giả sử điểm $M\in (P)$ và $N\in (S)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}(1;0;1)$ và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.
A. $MN=3$
B. $MN=1+2\sqrt{2}$
C. $MN=3\sqrt{2}$
D. $MN=14$
A. $MN=3$
B. $MN=1+2\sqrt{2}$
C. $MN=3\sqrt{2}$
D. $MN=14$
Ta có: $(P):x-2y+2\text{z}-3=0$ và . $(S):{{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=1$
Gọi $\overrightarrow{MN}=k(1;0;1)\Rightarrow \sin \left( \widehat{MN;(P)} \right)=\cos \left( \overrightarrow{{{u}_{MN}}};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right)=\dfrac{\left| 1+2 \right|}{\sqrt{2}.\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left( \widehat{MN;(P)} \right)=45{}^\circ $
Gọi H là hình chiếu của M trên $(P)$ khi đó $MN\sin 45{}^\circ =MH$
Do đó $MN=MH\sqrt{2}$ lớn nhất $\Leftrightarrow M{{H}_{\max }}=d\left( I;(P) \right)+R=2+1=3$
Suy ra $M{{N}_{\max }}=3\sqrt{2}$.
Gọi $\overrightarrow{MN}=k(1;0;1)\Rightarrow \sin \left( \widehat{MN;(P)} \right)=\cos \left( \overrightarrow{{{u}_{MN}}};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right)=\dfrac{\left| 1+2 \right|}{\sqrt{2}.\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left( \widehat{MN;(P)} \right)=45{}^\circ $
Gọi H là hình chiếu của M trên $(P)$ khi đó $MN\sin 45{}^\circ =MH$
Do đó $MN=MH\sqrt{2}$ lớn nhất $\Leftrightarrow M{{H}_{\max }}=d\left( I;(P) \right)+R=2+1=3$
Suy ra $M{{N}_{\max }}=3\sqrt{2}$.
Đáp án C.