Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z+9=0$ và mặt cầu $\left( S \right):3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}+6x-12y-12z-120=0.$ Biết rằng (P) cắt theo giao tuyến là một đường tròn (C). Mặt cầu (S') đi qua điểm $M\left( 1;-5;2 \right)$ và chứa đường tròn (C) có bán kính bằng
A. 9.
B. 7.
C. 8.
D. 10.
Lưu ý: Mặt cầu chứa đường tròn nếu tâm của mặt cầu thuộc trục của đường tròn đó.
Mặt cầu (S) có tâm . $I\left( -1;2;2 \right),R=7.$
Bán kính của đường tròn (C) là : $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,\left( P \right) \right)}=\sqrt{49-9}=2\sqrt{10}.$
Gọi (d) là trục của đường tròn (C), khi đó (d) đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P). Phương trình $\left( d \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+2t \\
& y=2+2t \\
& x=2-t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right).$
Gọi J là tâm mặt cầu $\left( {{S}'} \right)\Rightarrow J\left( -1+2t;2+2t;2-t \right).$
Khi đó ta có bán kính mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ được xác định bởi
$R_{\left( {{S}'} \right)}^{2}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}\left( J;\left( P \right) \right)\Leftrightarrow {{\left( 2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2t+7 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}=40+9{{\left( t+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow t=-2.$
Vậy $J\left( -5;-2;4 \right),{{R}_{\left( {{S}'} \right)}}=7.$
A. 9.
B. 7.
C. 8.
D. 10.
Lưu ý: Mặt cầu chứa đường tròn nếu tâm của mặt cầu thuộc trục của đường tròn đó.
Mặt cầu (S) có tâm . $I\left( -1;2;2 \right),R=7.$
Bán kính của đường tròn (C) là : $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,\left( P \right) \right)}=\sqrt{49-9}=2\sqrt{10}.$
Gọi (d) là trục của đường tròn (C), khi đó (d) đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P). Phương trình $\left( d \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+2t \\
& y=2+2t \\
& x=2-t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right).$
Gọi J là tâm mặt cầu $\left( {{S}'} \right)\Rightarrow J\left( -1+2t;2+2t;2-t \right).$
Khi đó ta có bán kính mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ được xác định bởi
$R_{\left( {{S}'} \right)}^{2}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}\left( J;\left( P \right) \right)\Leftrightarrow {{\left( 2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2t+7 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}=40+9{{\left( t+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow t=-2.$
Vậy $J\left( -5;-2;4 \right),{{R}_{\left( {{S}'} \right)}}=7.$
Đáp án B.