Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+z-10=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$. Đường thẳng $\Delta $ cắt $\left( P \right)$ và $d$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $A\left( 1;3;2 \right)$ là trung điểm của $MN$. Tính độ dài đoạn $MN$.
A. $MN=4\sqrt{33}$.
B. $MN=2\sqrt{23}$.
C. $MN=2\sqrt{66}$.
D. $MN=2\sqrt{33}$.
A. $MN=4\sqrt{33}$.
B. $MN=2\sqrt{23}$.
C. $MN=2\sqrt{66}$.
D. $MN=2\sqrt{33}$.
Vì $N=\Delta \cap d$ nên $N\in d$, do đó $N\left( -2+2t;1+t;1-t \right)$.
Mà $A\left( 1;3;2 \right)$ là trung điểm của $MN$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=2{{x}_{A}}-{{x}_{N}} \\
& {{y}_{M}}=2{{y}_{A}}-{{y}_{N}} \\
& {{z}_{M}}=2{{z}_{A}}-{{z}_{N}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=4-2t \\
& {{y}_{M}}=5-t \\
& {{z}_{M}}=3+t \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $M=\Delta \cap \left( P \right)$ nên $M\in \left( P \right)$, do đó $2\left( 4-2t \right)-\left( 5-t \right)+\left( 3+t \right)-10=0\Leftrightarrow t=-2$.
Suy ra $M\left( 8;7;1 \right)$ và $N\left( -6;-1;3 \right)$. Vậy $MN=2\sqrt{66}$.
Mà $A\left( 1;3;2 \right)$ là trung điểm của $MN$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=2{{x}_{A}}-{{x}_{N}} \\
& {{y}_{M}}=2{{y}_{A}}-{{y}_{N}} \\
& {{z}_{M}}=2{{z}_{A}}-{{z}_{N}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=4-2t \\
& {{y}_{M}}=5-t \\
& {{z}_{M}}=3+t \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $M=\Delta \cap \left( P \right)$ nên $M\in \left( P \right)$, do đó $2\left( 4-2t \right)-\left( 5-t \right)+\left( 3+t \right)-10=0\Leftrightarrow t=-2$.
Suy ra $M\left( 8;7;1 \right)$ và $N\left( -6;-1;3 \right)$. Vậy $MN=2\sqrt{66}$.
Đáp án C.