Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+z-10=0$, điểm $A\left( 1;3;2 \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$. Tìm phương trình đường thẳng $\Delta $ cắt $\left( P \right)$ và $d$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $A$ là trung điểm của $MN$.
A. $\dfrac{x+6}{7}=\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{z-3}{-1}.$
B. $\dfrac{x-6}{7}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{z+3}{-1}.$
C. $\dfrac{x-6}{7}=\dfrac{y-1}{-4}=\dfrac{z+3}{-1}.$
D. $\dfrac{x-6}{7}=\dfrac{y+1}{-4}=\dfrac{z-3}{-1}.$
A. $\dfrac{x+6}{7}=\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{z-3}{-1}.$
B. $\dfrac{x-6}{7}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{z+3}{-1}.$
C. $\dfrac{x-6}{7}=\dfrac{y-1}{-4}=\dfrac{z+3}{-1}.$
D. $\dfrac{x-6}{7}=\dfrac{y+1}{-4}=\dfrac{z-3}{-1}.$
Ta có $N=\Delta \cap d\Rightarrow N\left( -2+2t;1+t;1-t \right)$.
$A$ là trung điểm của $MN$ $\Rightarrow M\left( 4-2t;5-t;3+t \right)$.
Mà $M\in \left( P \right)$ nên tọa độ $M$ thỏa phương trình $\left( P \right)$, ta được:
$2\left( 4-2t \right)-\left( 5-t \right)+\left( 3+t \right)-10=0$ $\Leftrightarrow t=-2$ $\Rightarrow N\left( -6;-1;3 \right),M\left( 8;7;1 \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm $M$ và $N$ nên chỉ có một vectơ chỉ phương $\vec{u}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NM}=\left( 7;4;-1 \right)$
$\Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $\Delta $ : $\dfrac{x+6}{7}=\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{z-3}{-1}$.
$A$ là trung điểm của $MN$ $\Rightarrow M\left( 4-2t;5-t;3+t \right)$.
Mà $M\in \left( P \right)$ nên tọa độ $M$ thỏa phương trình $\left( P \right)$, ta được:
$2\left( 4-2t \right)-\left( 5-t \right)+\left( 3+t \right)-10=0$ $\Leftrightarrow t=-2$ $\Rightarrow N\left( -6;-1;3 \right),M\left( 8;7;1 \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm $M$ và $N$ nên chỉ có một vectơ chỉ phương $\vec{u}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NM}=\left( 7;4;-1 \right)$
$\Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $\Delta $ : $\dfrac{x+6}{7}=\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{z-3}{-1}$.
Đáp án A.