Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z-3=0$ và mặt cầu (S) có tâm $I\left( 5;-3;5 \right)$, bán kính $R=2\sqrt{5}$. Từ một điểm A thuộc mặt phẳng (P) kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại B. Tính OA biết $AB=4$.
A. $\sqrt{11}$.
B. 5.
C. 3.
D. $\sqrt{6}$.
A. $\sqrt{11}$.
B. 5.
C. 3.
D. $\sqrt{6}$.
Khoảng cách từ điểm $I$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là:
$d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 5-2.\left( -3 \right)+2.5-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=6.$
$AB$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ tại $B$ nên tam giác $AIB$ vuông tại $B$, do đó ta có:
$IA=\sqrt{I{{B}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}=6=d\left( I;\left( P \right) \right)$
$\Rightarrow A$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( P \right)$.
Đường thẳng $IA$ đi qua $I\left( 5;-3;5 \right)$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;-2;2 \right)$ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=5+t \\
& y=-3-2t \\
& z=5+2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Có $A=IA\cap \left( P \right)\Rightarrow 5+t-2\left( -3-2t \right)+2\left( 5+2t \right)-3=0\Leftrightarrow 9t+18=0\Leftrightarrow t=-2$
$\Rightarrow A\left( 3;1;1 \right)\Rightarrow OA=\sqrt{11}$.
$d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 5-2.\left( -3 \right)+2.5-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=6.$
$AB$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ tại $B$ nên tam giác $AIB$ vuông tại $B$, do đó ta có:
$IA=\sqrt{I{{B}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}=6=d\left( I;\left( P \right) \right)$
$\Rightarrow A$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( P \right)$.
Đường thẳng $IA$ đi qua $I\left( 5;-3;5 \right)$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;-2;2 \right)$ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=5+t \\
& y=-3-2t \\
& z=5+2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Có $A=IA\cap \left( P \right)\Rightarrow 5+t-2\left( -3-2t \right)+2\left( 5+2t \right)-3=0\Leftrightarrow 9t+18=0\Leftrightarrow t=-2$
$\Rightarrow A\left( 3;1;1 \right)\Rightarrow OA=\sqrt{11}$.
Đáp án A.