Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y-4z=0,$ đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ và điểm $A\left( 1;3;1 \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right).$ Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $A,$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ và cách $d$ một khoảng cách lớn nhất. Gọi $\overrightarrow{u}=\left( 1;b;c \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta .$ Tính $b+c.$
A. $b+c=-\dfrac{6}{11}.$
B. $b+c=0.$
C. $b+c=\dfrac{1}{4}.$
D. $b+c=4.$
A. $b+c=-\dfrac{6}{11}.$
B. $b+c=0.$
C. $b+c=\dfrac{1}{4}.$
D. $b+c=4.$
Kiểm tra ta thấy $d$ cắt $\left( P \right).$
Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với mặt phẳng $\left( P \right).$
Trong đó mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $AH,$ điểm $H$ là hình chiếu của $A$ trên đường thẳng $d.$
Ta tìm được tọa độ điểm $H\left( -1;0;2 \right)\xrightarrow{{}}$ phương trình mp $\left( \alpha \right):2x+3y-z-10=0.$
Ta có $\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( -11;7;-1 \right)\xrightarrow{{}}$ đường thẳng $\Delta $ có một VTVP là $\overrightarrow{u}=\left( 1;\dfrac{-7}{11};\dfrac{1}{11} \right).$
Vậy $b+c=-\dfrac{6}{11}.$
Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với mặt phẳng $\left( P \right).$
Trong đó mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $AH,$ điểm $H$ là hình chiếu của $A$ trên đường thẳng $d.$
Ta có $\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( -11;7;-1 \right)\xrightarrow{{}}$ đường thẳng $\Delta $ có một VTVP là $\overrightarrow{u}=\left( 1;\dfrac{-7}{11};\dfrac{1}{11} \right).$
Vậy $b+c=-\dfrac{6}{11}.$
Đáp án A.